Estudio de una función exponencial con parámetros

**a) Indique el dominio de la función y obtenga razonadamente el valor del parámetro real $k$ para que la tangente a la función en el punto de abscisa $x = 1$ sea horizontal. Determine también la ecuación de la recta tangente a la función en dicho punto.** En primer lugar, analizamos el **dominio**. La función $f(x) = 3(x + k)e^{-\frac{x}{2}}$ es el producto de una función polinómica, $3(x+k)$, y una función exponencial, $e^{-\frac{x}{2}}$. Ambas funciones están definidas para cualquier número real. Por lo tanto: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ Para que la recta tangente sea **horizontal** en $x=1$, la pendiente de dicha recta debe ser cero. Como la pendiente coincide con la derivada en ese punto, la condición es que **$f'(1) = 0$**. Calculamos la derivada usando la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: - Sea $u = 3(x + k) \implies u' = 3$ - Sea $v = e^{-\frac{x}{2}} \implies v' = e^{-\frac{x}{2}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}$ $$f'(x) = 3 \cdot e^{-\frac{x}{2}} + 3(x + k) \cdot \left(-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}\right)$$ Sacamos factor común $3e^{-\frac{x}{2}}$: $$f'(x) = 3e^{-\frac{x}{2}} \left( 1 - \frac{x + k}{2} \right) = 3e^{-\frac{x}{2}} \left( \frac{2 - x - k}{2} \right)$$ Simplificando: $$f'(x) = \frac{3(2 - k - x)}{2e^{\frac{x}{2}}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{g(x)}$ es $g'(x)e^{g(x)}$. En este caso, la derivada de $-\frac{x}{2}$ es $-\frac{1}{2}$.

Aplicamos la condición de tangente horizontal en $x=1$: $$f'(1) = 0 \implies \frac{3(2 - k - 1)}{2e^{\frac{1}{2}}} = 0$$ Para que una fracción sea cero, el numerador debe serlo: $$3(1 - k) = 0 \implies 1 - k = 0 \implies \mathbf{k = 1}$$ Ahora hallamos la **ecuación de la recta tangente** en $x = 1$. La fórmula es: $y - f(1) = f'(1)(x - 1)$. Como la tangente es horizontal, ya sabemos que $f'(1) = 0$, por lo que la ecuación será simplemente $y = f(1)$. Calculamos la ordenada del punto sustituyendo $x=1$ y $k=1$ en la función original: $$f(1) = 3(1 + 1)e^{-\frac{1}{2}} = 3(2)e^{-\frac{1}{2}} = 6e^{-\frac{1}{2}} = \frac{6}{\sqrt{e}}$$ ✅ **Resultados del apartado a):** $$\boxed{\text{Dominio: } \mathbb{R}, \quad k = 1, \quad \text{Recta tangente: } y = \frac{6}{\sqrt{e}}}$$ 💡 **Tip:** Una recta tangente horizontal siempre tiene la forma $y = \text{constante}$, donde esa constante es el valor de la función en el punto de tangencia.

**b) Para $k = 1$, señale los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.** Sustituimos $k=1$ en la expresión de la derivada calculada anteriormente: $$f'(x) = \frac{3(2 - 1 - x)}{2e^{\frac{x}{2}}} = \frac{3(1 - x)}{2e^{\frac{x}{2}}}$$ Para estudiar el crecimiento, analizamos el signo de $f'(x)$. Observamos que: 1. El denominador $2e^{\frac{x}{2}}$ siempre es **positivo** para cualquier valor de $x$. 2. El signo de $f'(x)$ depende exclusivamente del factor $(1 - x)$. Buscamos el punto crítico: $$f'(x) = 0 \implies 1 - x = 0 \implies x = 1$$ Estudiamos los intervalos definidos por este punto: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 1)$, si tomamos $x=0$, $f'(0) = \frac{3(1)}{2} > 0 \implies$ **Creciente**. - En $(1, +\infty)$, si tomamos $x=2$, $f'(2) = \frac{3(-1)}{2e} < 0 \implies$ **Decreciente**. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Creciente en: } (-\infty, 1) \quad \text{Decreciente en: } (1, +\infty)}$$