Inferencia estadística: Intervalo de confianza y nivel de confianza

**a) En una muestra aleatoria simple de $10$ lavadoras los consumos de agua en un lavado con este programa fueron los siguientes: $40, 45, 38, 44, 41, 40, 35, 50, 40, 37$. Construya el intervalo de confianza al $90\%$ para estimar el consumo medio de agua de este modelo de lavadoras con dicho programa de lavado.** Primero, identificamos los datos del problema para la variable $X$ (consumo de agua en litros): - Distribución normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 7$ - Tamaño de la muestra: $n = 10$ Calculamos la media de la muestra ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{40 + 45 + 38 + 44 + 41 + 40 + 35 + 50 + 40 + 37}{10} = \frac{410}{10} = 41 \text{ litros}$$ 💡 **Tip:** La media muestral es la suma de todos los valores observados dividida por el número total de datos ($n$).

Para un nivel de confianza del $90\%$, tenemos: $$1 - \alpha = 0.90 \implies \alpha = 0.10 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.05$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 0.95$. Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$, observamos que el valor $0.95$ se encuentra exactamente entre $1.64$ y $1.65$. Por convenio, tomamos el valor intermedio: $$z_{\alpha/2} = 1.645$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto de probabilidad no aparece en la tabla, se puede realizar una interpolación lineal o elegir el valor más cercano. Para el $90\%$, el valor estándar es $1.645$.

El error máximo admisible ($E$) se calcula mediante la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.645 \cdot \frac{7}{\sqrt{10}} \approx 1.645 \cdot \frac{7}{3.1623} \approx 1.645 \cdot 2.2136 \approx 3.6414$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (41 - 3.6414, \; 41 + 3.6414) = (37.3586, \; 44.6414)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (37.36, \; 44.64)}$$

**b) A partir de una muestra de $64$ lavadoras elegidas al azar, se obtuvo un intervalo de confianza para la media con una longitud de $5$ litros. Obtenga el nivel de confianza utilizado para construir el intervalo.** Identificamos los nuevos datos: - Tamaño de muestra: $n = 64$ - Desviación típica: $\sigma = 7$ - Longitud del intervalo ($L$): $5$ litros Sabemos que la longitud de un intervalo de confianza es el doble del error ($L = 2E$). Por lo tanto: $$2E = 5 \implies E = \frac{5}{2} = 2.5$$ 💡 **Tip:** La longitud del intervalo es la diferencia entre el extremo superior y el inferior: $(\bar{x} + E) - (\bar{x} - E) = 2E$.

Utilizamos la fórmula del error para despejar $z_{\alpha/2}$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies 2.5 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{7}{\sqrt{64}}$$ $$2.5 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{7}{8}$$ $$z_{\alpha/2} = \frac{2.5 \cdot 8}{7} = \frac{20}{7} \approx 2.8571$$ Redondeamos a dos decimales para buscar en la tabla de la Normal: $z_{\alpha/2} \approx 2.86$. 💡 **Tip:** Al despejar, asegúrate de que todas las unidades sean coherentes y opera paso a paso.

Buscamos en la tabla de la normal la probabilidad asociada a $z = 2.86$: $$P(Z \le 2.86) = 0.9979$$ Esta probabilidad corresponde a $1 - \frac{\alpha}{2}$: $$1 - \frac{\alpha}{2} = 0.9979$$ $$\frac{\alpha}{2} = 1 - 0.9979 = 0.0021$$ $$\alpha = 0.0021 \cdot 2 = 0.0042$$ El nivel de confianza es $1 - \alpha$: $$1 - \alpha = 1 - 0.0042 = 0.9958$$ Expresado en porcentaje, el nivel de confianza es del $99.58\%$. ✅ **Resultado (Nivel de confianza):** $$\boxed{99.58\%}$$