Programación Lineal: Misiones y Programas Espaciales

Para resolver este problema de programación lineal, primero definimos las variables y traducimos el enunciado a un sistema de inecuaciones. Sean: - $x$: número de misiones sobre Observación de la Tierra. - $y$: número de programas de Transporte Espacial. **Restricciones del problema:** 1. **Presupuesto máximo:** La inversión total no puede superar los $2.4$ millones de euros ($2,400,000\ €$): $$200,000x + 100,000y \le 2,400,000 \implies 2x + y \le 24$$ 2. **Inversión mínima:** Debe superarse los $2$ millones de euros ($2,000,000\ €$): $$200,000x + 100,000y \gt 2,000,000 \implies 2x + y \gt 20$$ 3. **Misiones mínimas:** El número de misiones debe ser al menos $4$: $$x \ge 4$$ 4. **Relación misiones-programas:** El número de misiones no debe ser más de la mitad del número de programas: $$x \le \frac{y}{2} \implies 2x \le y \implies 2x - y \le 0$$ 5. **Naturaleza de las variables:** Al tratarse de misiones y programas, $x$ e $y$ deben ser números enteros no negativos: $$x, y \ge 0, \quad x, y \in \mathbb{Z}$$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones dividiendo por $100,000$ facilita enormemente los cálculos posteriores y la representación gráfica.

Dibujamos las rectas asociadas a las inecuaciones para encontrar la región del plano que cumple todas las condiciones. - $r_1: 2x + y = 24$ (Pasa por $(0, 24)$ y $(12, 0)$) - $r_2: 2x + y = 20$ (Pasa por $(0, 20)$ y $(10, 0)$) - $r_3: x = 4$ (Recta vertical) - $r_4: y = 2x$ (Pasa por $(0, 0)$ y $(5, 10)$) La región factible es el polígono delimitado por estas rectas. Notemos que la restricción $2x + y \gt 20$ es estricta, por lo que los puntos sobre esa recta no forman parte de la solución, aunque los evaluaremos para ver la tendencia. **Cálculo de los vértices principales:** - **Vértice A** ($r_1 \cap r_3$): $x = 4 \implies 2(4) + y = 24 \implies y = 16$. Punto $\mathbf{(4, 16)}$. - **Vértice B** ($r_1 \cap r_4$): $2x + (2x) = 24 \implies 4x = 24 \implies x = 6, y = 12$. Punto $\mathbf{(6, 12)}$. - **Vértice C** ($r_2 \cap r_4$): $2x + (2x) = 20 \implies 4x = 20 \implies x = 5, y = 10$. Punto $\mathbf{(5, 10)}$. - **Vértice D** ($r_2 \cap r_3$): $x = 4 \implies 2(4) + y = 20 \implies y = 12$. Punto $\mathbf{(4, 12)}$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "r1", "latex": "2x + y \\le 24", "color": "#2563eb" }, { "id": "r2", "latex": "2x + y > 20", "color": "#ef4444" }, { "id": "r3", "latex": "x \\ge 4", "color": "#16a34a" }, { "id": "r4", "latex": "y \\ge 2x", "color": "#8b5cf6" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 15, "bottom": -2, "top": 30 } } }

La función a maximizar es $F(x, y) = 0.6x + 0.4y$. Evaluamos los vértices obtenidos (y comprobamos que cumplen la restricción estricta $2x + y \gt 20$): - **Punto A (4, 16):** Comprobación: $2(4) + 16 = 24 \gt 20$ (Válido). $F(4, 16) = 0.6(4) + 0.4(16) = 2.4 + 6.4 = \mathbf{8.8}$ - **Punto B (6, 12):** Comprobación: $2(6) + 12 = 24 \gt 20$ (Válido). $F(6, 12) = 0.6(6) + 0.4(12) = 3.6 + 4.8 = \mathbf{8.4}$ - **Punto C (5, 10):** Comprobación: $2(5) + 10 = 20$. ¡Atención! No es mayor que $20$. Como buscamos el máximo y este valor es menor que los anteriores, no afecta al resultado final. $F(5, 10) = 0.6(5) + 0.4(10) = 3 + 4 = 7$ - **Punto D (4, 12):** Comprobación: $2(4) + 12 = 20$. No es mayor que $20$. $F(4, 12) = 0.6(4) + 0.4(12) = 2.4 + 4.8 = 7.2$ Comparando los valores, el máximo se alcanza en el punto $(4, 16)$. 💡 **Tip:** En programación lineal con regiones cerradas, el máximo o mínimo siempre se encuentra en uno de los vértices del recinto.

Tras analizar la región factible y evaluar los puntos críticos que cumplen todas las condiciones del enunciado (incluyendo que $x$ e $y$ sean enteros y que la inversión supere estrictamente los $2$ millones), el beneficio máximo se obtiene con: - Número de misiones ($x$): **$4$** - Número de programas ($y$): **$16$** Con esta combinación, se obtiene un valor máximo de la función de **$8.8$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben realizar 4 misiones y 16 programas}}$$