Potencias de matrices, invertibilidad y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Calcule $A^2, A^3, A^4$ y deduzca la expresión de $A^n$, con $n$ un número natural.** Comenzamos calculando $A^2$ mediante el producto $A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0+1 & 0+0+0 & 1+0+1 \\ 0+0+0 & 0+1+0 & 0+0+0 \\ 1+0+1 & 0+0+0 & 1+0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $A^3$ multiplicando el resultado anterior por $A$: $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+0+2 & 0+0+0 & 2+0+2 \\ 0+0+0 & 0+1+0 & 0+0+0 \\ 2+0+2 & 0+0+0 & 2+0+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$ Finalmente, calculamos $A^4$: $$A^4 = A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+0+4 & 0+0+0 & 4+0+4 \\ 0+0+0 & 0+1+0 & 0+0+0 \\ 4+0+4 & 0+0+0 & 4+0+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 8 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para multiplicar matrices, recuerda la regla de "fila por columna". Cada elemento $c_{ij}$ es la suma de los productos de los elementos de la fila $i$ de la primera matriz por la columna $j$ de la segunda. ✅ **Resultados parciales:** $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}, A^3 = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 4 \end{pmatrix}, A^4 = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 8 & 0 & 8 \end{pmatrix}}$$

Analizamos los elementos de las matrices obtenidas para encontrar un patrón en función de $n$: - El elemento central siempre es $1$. - Los elementos de las esquinas son potencias de $2$: - Para $n=1$, las esquinas valen $1 = 2^{1-1} = 2^0$. - Para $n=2$, las esquinas valen $2 = 2^{2-1} = 2^1$. - Para $n=3$, las esquinas valen $4 = 2^{3-1} = 2^2$. - Para $n=4$, las esquinas valen $8 = 2^{4-1} = 2^3$. Siguiendo esta progresión, los elementos de las esquinas para una potencia $n$ cualquiera serán $2^{n-1}$. ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{A^n = \begin{pmatrix} 2^{n-1} & 0 & 2^{n-1} \\ 0 & 1 & 0 \\ 2^{n-1} & 0 & 2^{n-1} \end{pmatrix}}$$

**b) (0.5 puntos) Razone si existe la inversa de la matriz $B$.** Para que una matriz cuadrada tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero ($|B| \neq 0$). Calculamos el determinante de $B$ mediante la regla de Sarrus: $$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (1\cdot 1\cdot 0) + (0\cdot (-1)\cdot 2) + (2\cdot 1\cdot 1) - [(2\cdot 1\cdot 2) + (1\cdot (-1)\cdot 1) + (0\cdot 1\cdot 0)]$$ $$|B| = (0 + 0 + 2) - [4 - 1 + 0] = 2 - 3 = -1$$ Como $|B| = -1 \neq 0$, podemos afirmar que la matriz $B$ es regular. 💡 **Tip:** Si el determinante de una matriz es cero, la matriz se llama "singular" y no tiene inversa. ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{\text{Como } |B| = -1 \neq 0, \text{ existe la inversa } B^{-1}}$$

**c) (1 punto) Razone si la ecuación matricial $B \cdot X = C$ tiene solución y resuélvala en caso de que sea posible.** Dado que hemos demostrado que existe $B^{-1}$, la ecuación $B \cdot X = C$ tiene una solución única. Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por $B^{-1}$ en ambos miembros: $$B^{-1} \cdot B \cdot X = B^{-1} \cdot C \implies I \cdot X = B^{-1} \cdot C \implies X = B^{-1} \cdot C$$ 💡 **Tip:** Al despejar en ecuaciones matriciales, el orden importa. Como $B$ multiplica a $X$ por la izquierda, su inversa debe multiplicar a $C$ también por la izquierda.

Para hallar $X$, primero calculamos $B^{-1}$ usando la fórmula: $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{Adj}(B)^t$. 1. Hallamos los adjuntos de los elementos de $B$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2, \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -4, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 3, \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$ 2. Escribimos la matriz de adjuntos y la trasponemos: $$\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 2 & -4 & -1 \\ -2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(B)^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -2 & -4 & 3 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Dividimos por el determinante $|B| = -1$: $$B^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -2 & -4 & 3 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 2 \\ 2 & 4 & -3 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X = B^{-1} \cdot C$: $$X = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 2 \\ 2 & 4 & -3 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)\cdot 1 + (-2)\cdot (-3) + 2\cdot 1 \\ 2\cdot 1 + 4\cdot (-3) + (-3)\cdot 1 \\ 1\cdot 1 + 1\cdot (-3) + (-1)\cdot 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -1 + 6 + 2 \\ 2 - 12 - 3 \\ 1 - 3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -13 \\ -3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final apartado c):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 7 \\ -13 \\ -3 \end{pmatrix}}$$