Continuidad, derivabilidad, monotonía e integración de una función a trozos

**a) (0.5 puntos) Halle el valor de $b$ para que $f$ sea continua en $\mathbb{R}$.** La función está definida por dos ramas polinómicas. Los polinomios son continuos en todo su dominio, por lo que el único punto donde la continuidad podría fallar es en el salto entre ramas, $x = 1$. Para que $f$ sea continua en $x = 1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. **Valor de la función:** $f(1) = 1^2 - b(1) + a = 1 - b + a$ 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (ax + b) = a + b$ 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 - bx + a) = 1 - b + a$ Igualamos los límites para que exista el límite global: $$a + b = 1 - b + a$$ Observamos que el término $a$ aparece en ambos lados de la ecuación, por lo que se simplifica: $$b = 1 - b \implies 2b = 1 \implies b = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** En funciones a trozos con parámetros, si el parámetro de una rama se cancela al igualar límites, significa que la continuidad en ese punto no depende de dicho parámetro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{b = \frac{1}{2}}$$

**b) (0.5 puntos) Para $b = \frac{1}{2}$, halle el valor de $a$ para que $f$ sea derivable en $\mathbb{R}$.** Para que una función sea derivable, primero debe ser **continua**. Según el apartado anterior, con $b = \frac{1}{2}$ la función ya es continua en $\mathbb{R}$ para cualquier valor de $a$. Calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas ($x \neq 1$): $$f'(x) = \begin{cases} a & \text{si } x \lt 1 \\ 2x - b & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ Sustituimos $b = \frac{1}{2}$ en la derivada de la segunda rama: $$f'(x) = \begin{cases} a & \text{si } x \lt 1 \\ 2x - \frac{1}{2} & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x = 1$, las derivadas laterales deben ser iguales: 1. **Derivada por la izquierda:** $f'(1^-) = a$ 2. **Derivada por la derecha:** $f'(1^+) = 2(1) - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ Igualamos ambos valores: $$a = \frac{3}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no asegura la derivabilidad (pueden existir puntos angulosos). ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = \frac{3}{2}}$$

**c) (0.7 puntos) Para $a \lt 0$ y $b = \frac{1}{2}$, estudie el crecimiento y halle las abscisas de los extremos de la función $f$.** Utilizamos la derivada hallada anteriormente con $b = \frac{1}{2}$: $$f'(x) = \begin{cases} a & \text{si } x \lt 1 \\ 2x - \frac{1}{2} & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en cada tramo: 1. **Tramo $x \lt 1$:** Se nos indica que $a \lt 0$. Por tanto, $f'(x) = a$ siempre es negativa en este intervalo. 2. **Tramo $x \gt 1$:** Resolvemos $2x - \frac{1}{2} = 0 \implies 2x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{4}$. Como este valor no pertenece al intervalo $(1, +\infty)$, evaluamos un punto cualquiera (ej. $x=2$): $f'(2) = 4 - 0.5 = 3.5 \gt 0$. La derivada es siempre positiva para $x \gt 1$. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & \text{No existe} & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ Como la función es continua en $x=1$ (pues $b=1/2$) y pasa de decreciente a creciente, existe un mínimo relativo en ese punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en: } (1, +\infty) \quad \text{Decreciente en: } (-\infty, 1) \quad \text{Mínimo relativo en: } x = 1}$$

**d) (0.8 puntos) Para $a = 0$ y $b = \frac{1}{2}$, represente la región del plano delimitada por la gráfica de $f$, el eje de abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 2$. Calcule el área de dicha región.** Sustituimos los valores $a=0$ y $b=1/2$ en la función: $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & \text{si } x \lt 1 \\ x^2 - \frac{1}{2}x & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$ La región está delimitada por $x=0$ y $x=2$. Debemos comprobar si la función corta al eje de abscisas ($f(x)=0$) en ese intervalo: - En $x \lt 1$, $f(x) = 1/2 \neq 0$. - En $x \ge 1$, $x^2 - \frac{1}{2}x = 0 \implies x(x - \frac{1}{2}) = 0$. Las soluciones son $x=0$ y $x=1/2$, ninguna de las cuales está en el intervalo $[1, 2]$. Como $f(x) \gt 0$ en todo el intervalo $[0, 2]$, el área es simplemente la integral definida.

Dividimos el área en dos partes debido a la definición a trozos de la función: $$Area = \int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \, dx + \int_{1}^{2} \left( x^2 - \frac{1}{2}x \right) \, dx$$ Calculamos la primera integral: $$I_1 = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \, dx = \left[ \frac{1}{2}x \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}(1) - \frac{1}{2}(0) = \frac{1}{2}$$ Calculamos la segunda integral aplicando la regla de Barrow: $$I_2 = \int_{1}^{2} \left( x^2 - \frac{1}{2}x \right) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{2}$$ $$I_2 = \left( \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{4} \right) - \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{4} \right) = \left( \frac{8}{3} - 1 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right)$$ $$I_2 = \frac{5}{3} - \left( \frac{4-3}{12} \right) = \frac{5}{3} - \frac{1}{12} = \frac{20-1}{12} = \frac{19}{12}$$ Sumamos ambas partes: $$Area = \frac{1}{2} + \frac{19}{12} = \frac{6}{12} + \frac{19}{12} = \frac{25}{12} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Al integrar funciones a trozos, siempre debes separar la integral en los puntos de salto del dominio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Area = \frac{25}{12} \approx 2.083 \text{ u}^2}$$