Análisis de la cotización bursátil: derivadas e integrales

**a) (1.25 puntos) Estudie los intervalos en los que la función $c$ es creciente.** Para determinar los intervalos de crecimiento de una función, debemos estudiar el signo de su derivada $c'(t)$. Sabemos que: - La función es **creciente** si $c'(t) \gt 0$. - La función es **decreciente** si $c'(t) \lt 0$. En el enunciado ya se nos proporciona la función derivada: $$c'(t) = 0.03t^2 - 0.9t + 6$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada representa la pendiente de la recta tangente; si es positiva, la función sube.

Primero buscamos los valores de $t$ donde la derivada se anula ($c'(t) = 0$): $$0.03t^2 - 0.9t + 6 = 0$$ Resolvemos esta ecuación de segundo grado usando la fórmula general: $$t = \frac{-(-0.9) \pm \sqrt{(-0.9)^2 - 4 \cdot 0.03 \cdot 6}}{2 \cdot 0.03}$$ $$t = \frac{0.9 \pm \sqrt{0.81 - 0.72}}{0.06} = \frac{0.9 \pm \sqrt{0.09}}{0.06}$$ $$t = \frac{0.9 \pm 0.3}{0.06}$$ Obtenemos dos soluciones: - $t_1 = \frac{0.9 - 0.3}{0.06} = \frac{0.6}{0.06} = 10$ - $t_2 = \frac{0.9 + 0.3}{0.06} = \frac{1.2}{0.06} = 20$ Como el dominio es $t \in [0, 24]$, ambos valores son válidos. $$\boxed{t = 10, \quad t = 20}$$

Dividimos el dominio $[0, 24]$ en intervalos usando los puntos críticos hallados y evaluamos el signo de $c'(t)$ en cada uno: $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0,10) & 10 & (10,20) & 20 & (20,24)\\\hline c'(t) & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$ **Comprobación de signos:** - Para $t=5 \in (0,10)$: $c'(5) = 0.03(25) - 0.9(5) + 6 = 0.75 - 4.5 + 6 = 2.25 \gt 0$ - Para $t=15 \in (10,20)$: $c'(15) = 0.03(225) - 0.9(15) + 6 = 6.75 - 13.5 + 6 = -0.75 \lt 0$ - Para $t=22 \in (20,24)$: $c'(22) = 0.03(484) - 0.9(22) + 6 = 14.52 - 19.8 + 6 = 0.72 \gt 0$ ✅ **Resultado:** La función $c$ es creciente en los intervalos donde $c'(t) \gt 0$: $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 10) \cup (20, 24)}$$

**b) (0.5 puntos) Analice los puntos críticos de la función $c$, indicando en cuáles se alcanza el máximo y el mínimo relativos.** Utilizando el estudio del signo del apartado anterior: 1. En **$t = 10$**, la función pasa de ser creciente ($c' \gt 0$) a decreciente ($c' \lt 0$). Por lo tanto, se alcanza un **máximo relativo**. 2. En **$t = 20$**, la función pasa de ser decreciente ($c' \lt 0$) a creciente ($c' \gt 0$). Por lo tanto, se alcanza un **mínimo relativo**. 💡 **Tip:** Si la derivada cambia de $+$ a $-$, hay una "montaña" (máximo). Si cambia de $-$ a $+$, hay un "valle" (mínimo). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } t = 10, \quad \text{Mínimo relativo en } t = 20}$$

**c) (0.75 puntos) Halle la expresión analítica de la función $c$, sabiendo que la cotización en bolsa de la empresa era de $50$ euros en el instante inicial.** Para obtener $c(t)$ a partir de su derivada $c'(t)$, debemos realizar la integral indefinida: $$c(t) = \int c'(t) \, dt = \int (0.03t^2 - 0.9t + 6) \, dt$$ Aplicamos la regla de la potencia para integrar: $$c(t) = 0.03 \cdot \frac{t^3}{3} - 0.9 \cdot \frac{t^2}{2} + 6t + K$$ $$c(t) = 0.01t^3 - 0.45t^2 + 6t + K$$ Donde $K$ es la constante de integración. 💡 **Tip:** Recuerda que $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$ para $n \neq -1$.

El enunciado indica que en el instante inicial ($t=0$), la cotización era de $50$ euros. Esto se traduce en $c(0) = 50$. Sustituimos en nuestra expresión: $$c(0) = 0.01(0)^3 - 0.45(0)^2 + 6(0) + K = 50$$ $$0 - 0 + 0 + K = 50 \implies K = 50$$ Por tanto, la expresión analítica completa de la función es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{c(t) = 0.01t^3 - 0.45t^2 + 6t + 50}$$