Probabilidad y Estadística 2021 Andalucía
Probabilidad de defectos en fabricación de coches
EJERCICIO 5
Una empresa dedicada a la fabricación de coches lanza al mercado un nuevo modelo que fabrica en tres plantas diferentes, $A, B$ y $C$. La planta $A$ produce el $45\%$ de los vehículos, la planta $B$ el $21\%$ y el resto los produce la planta $C$. Se ha detectado un defecto en la colocación del airbag, que afecta al $1\%$ de los coches procedentes de la planta $A$, al $3\%$ de los procedentes de la planta $B$ y al $2\%$ de los de la planta $C$. Se selecciona un coche al azar de este nuevo modelo.
a) (1.25 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso y proceda de la planta $C$?
b) (1.25 puntos) Si el coche elegido no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la planta $A$?
Paso 1
Definición de sucesos y diagrama de árbol
**a) (1.25 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso y proceda de la planta $C$?**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $A$: El coche procede de la planta $A$.
- $B$: El coche procede de la planta $B$.
- $C$: El coche procede de la planta $C$.
- $D$: El coche es defectuoso.
- $\bar{D}$: El coche no es defectuoso.
Extraemos los datos del enunciado:
- $P(A) = 0.45$
- $P(B) = 0.21$
- $P(C) = 1 - 0.45 - 0.21 = 0.34$
- Probabilidades de defecto condicionadas: $P(D|A) = 0.01$, $P(D|B) = 0.03$, $P(D|C) = 0.02$
Representamos la situación mediante un **diagrama de árbol**:
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades que salen de un mismo nodo debe ser siempre 1. Por ejemplo, en la planta $C$, si el $2\%$ son defectuosos ($0.02$), el $98\%$ no lo son ($0.98$).
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de la intersección
Nos piden la probabilidad de que el coche proceda de $C$ **y** no sea defectuoso, es decir, la probabilidad de la intersección $P(C \cap \bar{D})$.
Utilizamos la regla del producto siguiendo la rama correspondiente en el árbol:
$$P(C \cap \bar{D}) = P(C) \cdot P(\bar{D}|C)$$
Sustituimos los valores:
$$P(C \cap \bar{D}) = 0.34 \cdot 0.98 = 0.3332$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C \cap \bar{D}) = 0.3332}$$
Paso 3
Probabilidad de no ser defectuoso (Probabilidad total)
**b) (1.25 puntos) Si el coche elegido no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la planta $A$?**
Este apartado nos pide una probabilidad condicionada: $P(A|\bar{D})$. Para resolverlo, primero necesitamos calcular la probabilidad total de que un coche no sea defectuoso, $P(\bar{D})$.
Por el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(\bar{D}) = P(A \cap \bar{D}) + P(B \cap \bar{D}) + P(C \cap \bar{D})$$
$$P(\bar{D}) = P(A)P(\bar{D}|A) + P(B)P(\bar{D}|B) + P(C)P(\bar{D}|C)$$
Calculamos cada término:
- $P(A \cap \bar{D}) = 0.45 \cdot 0.99 = 0.4455$
- $P(B \cap \bar{D}) = 0.21 \cdot 0.97 = 0.2037$
- $P(C \cap \bar{D}) = 0.34 \cdot 0.98 = 0.3332$ (calculado en el apartado anterior)
Sumamos los resultados:
$$P(\bar{D}) = 0.4455 + 0.2037 + 0.3332 = 0.9824$$
💡 **Tip:** La probabilidad total es la suma de los finales de todas las ramas que terminan en el suceso deseado (en este caso, $\bar{D}$).
Paso 4
Aplicación del Teorema de Bayes
Ahora aplicamos el **Teorema de Bayes** para hallar la probabilidad de que el coche sea de la planta $A$ dado que sabemos que no es defectuoso:
$$P(A|\bar{D}) = \frac{P(A \cap \bar{D})}{P(\bar{D})}$$
Sustituimos los valores obtenidos:
$$P(A|\bar{D}) = \frac{0.4455}{0.9824} \approx 0.45348$$
Redondeando a cuatro decimales:
$$P(A|\bar{D}) \approx 0.4535$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A|\bar{D}) \approx 0.4535}$$