Probabilidad de contagio y Teorema de Bayes

**a) (1 punto) Si una persona enferma se reúne con dos personas sanas, teniendo en cuenta que contagiar a distintas personas son sucesos independientes entre sí, ¿cuál es la probabilidad de que se contagien las dos personas a la vez? ¿Cuál es la probabilidad de que se contagie alguna de ellas?** Definimos los sucesos: - $C_1$: La primera persona sana se contagia. - $C_2$: La segunda persona sana se contagia. Según el enunciado, la probabilidad de contagio individual es del $80\%$, por lo que: $P(C_1) = 0.8$ $P(C_2) = 0.8$ Como los sucesos son **independientes**, la probabilidad de que ambos ocurran a la vez (la intersección) es el producto de sus probabilidades: $$P(C_1 \cap C_2) = P(C_1) \cdot P(C_2) = 0.8 \cdot 0.8 = 0.64$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, entonces $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. ✅ **Resultado (ambos contagiados):** $$\boxed{P(C_1 \cap C_2) = 0.64}$$

Para calcular la probabilidad de que se contagie **alguna** de ellas, estamos buscando la unión de los sucesos ($C_1 \cup C_2$). Podemos calcularlo de dos formas: **Método 1: Fórmula de la unión** $$P(C_1 \cup C_2) = P(C_1) + P(C_2) - P(C_1 \cap C_2)$$ $$P(C_1 \cup C_2) = 0.8 + 0.8 - 0.64 = 0.96$$ **Método 2: Usando el suceso contrario** El suceso contrario a "alguna se contagia" es "ninguna se contagia" (ambas permanecen sanas, $\bar{C}_1 \cap \bar{C}_2$): $$P(\text{ninguna}) = P(\bar{C}_1) \cdot P(\bar{C}_2) = (1 - 0.8) \cdot (1 - 0.8) = 0.2 \cdot 0.2 = 0.04$$ Entonces: $$P(C_1 \cup C_2) = 1 - P(\bar{C}_1 \cap \bar{C}_2) = 1 - 0.04 = 0.96$$ 💡 **Tip:** En probabilidad, la palabra "alguna" suele resolverse de forma más rápida mediante el suceso complementario: $P(\text{al menos uno}) = 1 - P(\text{ninguno})$. ✅ **Resultado (al menos una):** $$\boxed{P(C_1 \cup C_2) = 0.96}$$

**b) (1.5 puntos) Una prueba para detectar la enfermedad da el resultado correcto en el $90\%$ de los casos cuando se le aplica a personas contagiadas y da falsos positivos en el $5\%$ de los casos cuando se aplica a personas sanas. Si una persona sana se reúne con una enferma y resulta positivo en una prueba posterior, ¿qué probabilidad hay de que se haya contagiado en la reunión?** Primero definimos los sucesos del experimento: - $C$: La persona se contagia en la reunión. $P(C) = 0.8$ (del enunciado general). - $S$: La persona no se contagia (permanece sana). $P(S) = 1 - 0.8 = 0.2$. - $T+$: La prueba da un resultado positivo. - $T-$: La prueba da un resultado negativo. Datos de la prueba (probabilidades condicionadas): - $P(T+|C) = 0.90$ (resultado correcto en contagiados). - $P(T+|S) = 0.05$ (falso positivo en sanos). Representamos la situación en un árbol de probabilidad:

Nos piden la probabilidad de que esté contagiado sabiendo que ha dado positivo ($P(C|T+)$). Primero necesitamos la probabilidad total de dar positivo $P(T+)$. Por el Teorema de la Probabilidad Total: $$P(T+) = P(C) \cdot P(T+|C) + P(S) \cdot P(T+|S)$$ $$P(T+) = 0.8 \cdot 0.90 + 0.2 \cdot 0.05$$ $$P(T+) = 0.72 + 0.01 = 0.73$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total suma todas las ramas del árbol que terminan en el suceso deseado (en este caso, dar positivo).

Para hallar $P(C|T+)$, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(C|T+) = \frac{P(C \cap T+)}{P(T+)} = \frac{P(C) \cdot P(T+|C)}{P(T+)}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$P(C|T+) = \frac{0.72}{0.73} \approx 0.9863$$ Expresado en porcentaje, la probabilidad es del **$98.63\%$**. 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para "darle la vuelta" a la condición. Si conocemos $P(T+|C)$ y buscamos $P(C|T+)$, Bayes es la herramienta adecuada. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{P(C|T+) = \frac{72}{73} \approx 0.9863}$$