Intervalo de confianza y tamaño muestral para la proporción

**a) (1.5 puntos) Halle un intervalo de confianza al $94\%$ para estimar la proporción real de individuos que usan el transporte público en esa ciudad.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la proporción muestral: - Tamaño de la muestra: $n = 500$ - Individuos que usan transporte público: $175$ Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{175}{500} = 0.35$$ Calculamos la proporción complementaria ($\hat{q}$): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.35 = 0.65$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es el número de éxitos dividido por el total de la muestra, y $\hat{q}$ es su complementario ($1-\hat{p}$).

Para un nivel de confianza del $94\%$, tenemos que: $$1 - \alpha = 0.94 \implies \alpha = 0.06 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.03$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.03 = 0.97$$ Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, buscamos el valor más próximo a $0.97$: - Para $z = 1.88$, la probabilidad es $0.9699$. - Para $z = 1.89$, la probabilidad es $0.9706$. El valor más cercano es **$z_{\alpha/2} = 1.88$**. 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de confianza deja un área de $\alpha/2$ en cada extremo de la campana de Gauss. Por eso buscamos $1 - \alpha/2$ en la tabla.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 1.88 \cdot \sqrt{\frac{0.35 \cdot 0.65}{500}}$$ $$E = 1.88 \cdot \sqrt{\frac{0.2275}{500}} = 1.88 \cdot \sqrt{0.000455} \approx 1.88 \cdot 0.02133 = 0.0401$$ Calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0.35 - 0.0401 = 0.3099$ - Límite superior: $0.35 + 0.0401 = 0.3901$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.3099, 0.3901)}$$

**b) (1 punto) Manteniendo la proporción muestral, ¿cuántos individuos se deberían seleccionar como mínimo, para que, con un nivel de confianza del $97\%$, la proporción muestral difiera de la proporción real a lo sumo en un $2\%$?** Ahora el nivel de confianza es del $97\%$: $$1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$$ Buscamos en la tabla Normal el valor crítico tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$$ En la tabla encontramos exactamente el valor: $$z_{\alpha/2} = 2.17$$ 💡 **Tip:** "Diferir a lo sumo" se refiere al error máximo admisible ($E$). En este caso, $2\%$ se expresa en decimales como $E = 0.02$.

Utilizamos la fórmula del error para despejar el tamaño muestral $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E} \right)^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}$$ Sustituimos los valores ($E = 0.02$, $\hat{p} = 0.35$, $\hat{q} = 0.65$, $z_{\alpha/2} = 2.17$): $$n = \left( \frac{2.17}{0.02} \right)^2 \cdot 0.35 \cdot 0.65$$ $$n = (108.5)^2 \cdot 0.2275 = 11772.25 \cdot 0.2275 = 2678.1868$$ Como el número de individuos debe ser un número entero y el error debe ser "a lo sumo" $0.02$, debemos redondear siempre al entero superior para garantizar que el error no sea mayor al permitido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 2679 \text{ individuos}}$$