Intervalo de confianza y tamaño muestral para la estatura media

**a) (1.5 puntos) Se toma una muestra aleatoria de $300$ mujeres de esta población, que da una estatura media de $168$ cm. Construya un intervalo de confianza al $97\%$ para estimar la estatura media de las mujeres de esta población.** En primer lugar, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable aleatoria $X$, que representa la estatura de las mujeres: - La población sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu, \sigma) = N(\mu, 7)$. - Tamaño de la muestra: $n = 300$. - Media muestral: $\bar{x} = 168$ cm. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97$. 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ tiene la forma: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ donde $z_{\alpha/2}$ es el valor crítico correspondiente al nivel de confianza.

Para un nivel de confianza del $97\%$, calculamos el valor de $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03$. 2. Repartimos el error en las dos colas de la distribución: $\alpha/2 = 0.015$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la Normal $N(0,1)$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.9850.$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar, el valor $0.9850$ corresponde exactamente a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$

Calculamos el error máximo admitido ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{7}{\sqrt{300}}$$ $$E = 2.17 \cdot \frac{7}{17.3205} \approx 2.17 \cdot 0.4041 = 0.8769$$ Ahora construimos el intervalo centrado en la media muestral $\bar{x} = 168$: $$I.C. = (168 - 0.8769, 168 + 0.8769) = (167.1231, 168.8769)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (167.12, 168.88)}$$

**b) (1 punto) Calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra de esta población para que, con un nivel de confianza del $94\%$, el error máximo cometido al estimar la estatura media de las mujeres de esa población sea inferior a $1.2$ cm.** Datos para este apartado: - Desviación típica: $\sigma = 7$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.94 \implies \alpha = 0.06 \implies \alpha/2 = 0.03$. - Error máximo: $E \lt 1.2$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.03 = 0.9700.$$ Buscando en la tabla de la Normal $N(0,1)$: El valor $0.9699$ corresponde a $1.88$ y el valor $0.9706$ a $1.89$. Tomamos el más cercano: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.88}$$ 💡 **Tip:** Si el valor de probabilidad no aparece exacto, se suele tomar el más próximo o realizar una interpolación. Aquí $0.9699$ es casi exacto para $1.88$.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n \gt \left( \frac{1.88 \cdot 7}{1.2} \right)^2$$ $$n \gt \left( \frac{13.16}{1.2} \right)^2$$ $$n \gt (10.9667)^2 = 120.267$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **inferior** a $1.2$, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 121 \text{ mujeres}}$$