Optimización del beneficio en producción farmacéutica

Para resolver este problema de programación lineal, lo primero es identificar las incógnitas o variables de decisión: - $x$: número de unidades producidas por hora del medicamento $A$. - $y$: número de unidades producidas por hora del medicamento $B$. Como estamos hablando de cantidades de medicamentos, ambas deben ser no negativas: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Siempre define claramente qué representa cada variable para no confundirte al plantear las restricciones y la función objetivo.

Traducimos las condiciones del enunciado a inecuaciones matemáticas: 1. **Máximo de producción total:** Entre los dos medicamentos fabrican como máximo $10$ unidades: $$x + y \le 10$$ 2. **Rendimiento mínimo:** Se han de producir al menos $4$ unidades entre los dos: $$x + y \ge 4$$ 3. **Política sanitaria:** La producción de $A$ ($x$) ha de ser como mucho $2$ unidades más que la de $B$ ($y$): $$x \le y + 2 \implies x - y \le 2$$ 4. **Condiciones de no negatividad:** $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de inecuaciones que define la región factible es: $$\begin{cases} x + y \le 10 \\ x + y \ge 4 \\ x - y \le 2 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

Queremos maximizar el beneficio total. El beneficio por cada unidad de $A$ es de $60$ € y por cada unidad de $B$ es de $25$ €. La función de beneficio $B(x, y)$ será: $$\boxed{B(x, y) = 60x + 25y}$$ 💡 **Tip:** En los problemas de optimización, la función objetivo es la que representa aquello que queremos hacer lo más grande posible (beneficio, área) o lo más pequeño (coste, tiempo).

Representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible: - $r_1: x + y = 10$ (Pasa por $(10,0)$ y $(0,10)$) - $r_2: x + y = 4$ (Pasa por $(4,0)$ y $(0,4)$) - $r_3: x - y = 2$ (Pasa por $(2,0)$ y $(0,-2)$) La región factible es el recinto cerrado cuyos vértices debemos calcular.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cruzan: - **Vértice A:** Intersección de $x + y = 10$ y $x - y = 2$. Sumando las ecuaciones: $2x = 12 \implies x = 6$. Sustituyendo: $6 + y = 10 \implies y = 4$. $\rightarrow \mathbf{A(6, 4)}$ - **Vértice B:** Intersección de $x + y = 10$ y el eje $Y$ ($x = 0$). $0 + y = 10 \implies y = 10$. $\rightarrow \mathbf{B(0, 10)}$ - **Vértice C:** Intersección de $x + y = 4$ y el eje $Y$ ($x = 0$). $0 + y = 4 \implies y = 4$. $\rightarrow \mathbf{C(0, 4)}$ - **Vértice D:** Intersección de $x + y = 4$ y $x - y = 2$. Sumando las ecuaciones: $2x = 6 \implies x = 3$. Sustituyendo: $3 + y = 4 \implies y = 1$. $\rightarrow \mathbf{D(3, 1)}$ Los vértices son **$A(6, 4)$, $B(0, 10)$, $C(0, 4)$ y $D(3, 1)$**.

Evaluamos el beneficio $B(x, y) = 60x + 25y$ en cada uno de los vértices para encontrar el máximo: - $B(6, 4) = 60(6) + 25(4) = 360 + 100 = 460 \text{ €}$ - $B(0, 10) = 60(0) + 25(10) = 250 \text{ €}$ - $B(0, 4) = 60(0) + 25(4) = 100 \text{ €}$ - $B(3, 1) = 60(3) + 25(1) = 180 + 25 = 205 \text{ €}$ El valor máximo se alcanza en el punto $(6, 4)$. ✅ **Resultado final:** Para maximizar el beneficio, el laboratorio debe fabricar **$6$ unidades del medicamento $A$ y $4$ unidades del medicamento $B$**. El beneficio máximo obtenido será de **$460$ euros** por hora. $$\boxed{\text{Producción: } 6A, 4B \quad \text{Beneficio: } 460 \text{ €}}$$