Ecuaciones matriciales y potencias de matrices

**a) (0.5 puntos) Calcule el valor del parámetro $a$ para que la matriz $A$ no tenga inversa.** Una matriz cuadrada $A$ no tiene inversa si y solo si su determinante es igual a cero ($|A| = 0$). Calculamos el determinante de la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 4 \\ 6 & 8 \end{vmatrix} = a \cdot 8 - 4 \cdot 6 = 8a - 24.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una matriz $2 \times 2$, el determinante se calcula como el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria. Para que no tenga inversa, igualamos a cero: $$8a - 24 = 0 \implies 8a = 24 \implies a = \frac{24}{8} = 3.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 3}$$

**b) (1.25 puntos) Para $a = 3$, resuelva la ecuación matricial $X \cdot A - X \cdot B = C$.** Primero, observamos que podemos sacar factor común la matriz $X$ por la izquierda: $$X \cdot (A - B) = C.$$ Llamamos $D = A - B$. Para resolver la ecuación $X \cdot D = C$, si $D$ es invertible, multiplicamos por $D^{-1}$ por la derecha en ambos lados: $$X \cdot D \cdot D^{-1} = C \cdot D^{-1} \implies X = C \cdot D^{-1}.$$ Calculamos la matriz diferencia $D = A - B$ con $a=3$: $$D = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-2 & 4-2 \\ 6-3 & 8-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}.$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación es fundamental. Como la matriz $D$ multiplica a $X$ por la derecha, su inversa debe aparecer multiplicando por la derecha al otro lado del igual.

Para hallar $D^{-1}$, primero calculamos su determinante: $$|D| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = (1)(5) - (2)(3) = 5 - 6 = -1.$$ Como $|D| \neq 0$, la matriz $D$ tiene inversa. Calculamos la matriz adjunta de la traspuesta (o traspuesta de la adjunta): 1. Traspuesta de $D$: $D^t = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$. 2. Adjunta de la traspuesta: $\text{Adj}(D^t) = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$. La inversa es: $$D^{-1} = \frac{1}{|D|} \cdot \text{Adj}(D^t) = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}.$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$ del tipo $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la inversa es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Sustituimos en $X = C \cdot D^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}.$$ Realizamos el producto de matrices (fila por columna): - Elemento $x_{11} = (1)(-5) + (2)(3) = -5 + 6 = 1$ - Elemento $x_{12} = (1)(2) + (2)(-1) = 2 - 2 = 0$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

**c) (0.75 puntos) Para $a = 3$, compruebe que $A^2 = 11 \cdot A$ y exprese $A^8$ en función de la matriz $A$.** Calculamos $A^2$ con $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot3+4\cdot6 & 3\cdot4+4\cdot8 \\ 6\cdot3+8\cdot6 & 6\cdot4+8\cdot8 \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 9+24 & 12+32 \\ 18+48 & 24+64 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 33 & 44 \\ 66 & 88 \end{pmatrix}.$$ Calculamos $11 \cdot A$: $$11 \cdot A = 11 \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 33 & 44 \\ 66 & 88 \end{pmatrix}.$$ Queda comprobado que **$A^2 = 11A$**.

Utilizamos la relación encontrada para hallar $A^8$ de forma recurrente: - $A^2 = 11 A$ - $A^3 = A \cdot A^2 = A \cdot (11 A) = 11 A^2 = 11(11 A) = 11^2 A$ - $A^4 = A \cdot A^3 = A \cdot (11^2 A) = 11^2 A^2 = 11^2 (11 A) = 11^3 A$ Observamos un patrón: $A^n = 11^{n-1} A$. Por tanto, para $n=8$: $$A^8 = 11^{8-1} A = 11^7 A.$$ 💡 **Tip:** En este tipo de ejercicios donde piden potencias elevadas, siempre busca una relación entre $A^2$ y $A$ (o la identidad) para encontrar una regla general por inducción. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^8 = 11^7 \cdot A}$$