Estudio de función a trozos: continuidad, derivabilidad, extremos y área

**a) (1 punto) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función $f$ en todo su dominio.** El dominio de la función es el intervalo $[-2, 2]$. La función está compuesta por dos trozos polinómicos, por lo que es continua en los intervalos abiertos $(-2, 0)$ y $(0, 2)$. El único punto donde debemos estudiar la continuidad específicamente es en el salto entre ramas, $x = 0$. Para que $f$ sea continua en $x = 0$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. $f(0) = (0 - 1)^2 = 1$ 2. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x + 1)^2 = (0 + 1)^2 = 1$ 3. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x - 1)^2 = (0 - 1)^2 = 1$ Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$, la función es **continua en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Una función a trozos es continua en un punto si el valor de la función coincide con el límite por la izquierda y por la derecha en dicho punto. $$\boxed{\text{f es continua en } [-2, 2]}$$

Para estudiar la derivabilidad, primero calculamos la derivada de cada rama en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} 2(x + 1) & \text{si } -2 < x < 0 \\ 2(x - 1) & \text{si } 0 < x < 2 \end{cases}$$ Estudiamos la derivabilidad en el punto de unión $x = 0$ comparando las derivadas laterales: - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = 2(0 + 1) = 2$ - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = 2(0 - 1) = -2$ Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$ ($2 \neq -2$), la función **no es derivable en $x = 0$**. Gráficamente, esto significa que hay un punto anguloso en $x = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él y, además, sus derivadas laterales deben ser iguales. $$\boxed{\text{f es derivable en } (-2, 0) \cup (0, 2) \text{ pero no en } x = 0}$$

**b) (0.7 puntos) Calcule los extremos de la función $f$.** Los extremos relativos pueden encontrarse donde la derivada es cero o donde la función no es derivable (puntos singulares). También debemos considerar los extremos del dominio. 1. Buscamos donde $f'(x) = 0$: - En $(-2, 0)$: $2(x + 1) = 0 \implies x = -1$ - En $(0, 2)$: $2(x - 1) = 0 \implies x = 1$ 2. Punto donde no es derivable: $x = 0$. 3. Extremos del intervalo: $x = -2$ y $x = 2$. Evaluamos la función en estos candidatos: - $f(-2) = (-2 + 1)^2 = 1$ - $f(-1) = (-1 + 1)^2 = 0$ - $f(0) = 1$ - $f(1) = (1 - 1)^2 = 0$ - $f(2) = (2 - 1)^2 = 1$

Analizamos el signo de la derivada para determinar la monotonía: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & -2 & (-2, -1) & -1 & (-1, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, 2) & 2 \\\hline f'(x) & / & - & 0 & + & \nexists & - & 0 & + & / \\\hline f(x) & 1 & \searrow & 0 & \nearrow & 1 & \searrow & 0 & \nearrow & 1 \end{array}$$ Basándonos en la tabla y los valores calculados: - **Mínimos absolutos** (y relativos) en: $x = -1$ y $x = 1$, con valor $f(x) = 0$. - **Máximos absolutos** (y relativos) en: $x = -2, x = 0$ y $x = 2$, con valor $f(x) = 1$. 💡 **Tip:** En una función continua en un intervalo cerrado, los extremos absolutos siempre existen (Teorema de Weierstrass) y se encuentran entre los puntos críticos o los extremos del intervalo. $$\boxed{\text{Mínimos: } (-1, 0), (1, 0) \text{ | Máximos: } (-2, 1), (0, 1), (2, 1)}$$

**c) (0.8 puntos) Represente el recinto que encierra la gráfica de $f$, las rectas $x = -1, x = 1$ y el eje $OX$. Calcule el área de dicho recinto.** El recinto está delimitado superiormente por $f(x)$ e inferiormente por el eje $OX$ ($y=0$) entre $x = -1$ y $x = 1$. Dado que la función cambia de definición en $x = 0$, debemos dividir la integral en dos partes: $$A = \int_{-1}^{0} (x + 1)^2 \, dx + \int_{0}^{1} (x - 1)^2 \, dx$$ 💡 **Tip:** Cuando calcules áreas, asegúrate de si la función cruza el eje OX en el intervalo de integración. En este caso, $f(x) \ge 0$ en todo el intervalo $[-1, 1]$, por lo que no hace falta usar valores absolutos por tramos de signo.

Calculamos cada integral por separado usando la regla de Barrow: 1. Primera parte: $$\int_{-1}^{0} (x + 1)^2 \, dx = \left[ \frac{(x + 1)^3}{3} \right]_{-1}^{0} = \frac{(0 + 1)^3}{3} - \frac{(-1 + 1)^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$$ 2. Segunda parte: $$\int_{0}^{1} (x - 1)^2 \, dx = \left[ \frac{(x - 1)^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{(1 - 1)^3}{3} - \frac{(0 - 1)^3}{3} = 0 - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3}$$ Sumamos ambas áreas: $$A = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** Para integrar $(x+a)^n$ puedes usar la fórmula directa $\frac{(x+a)^{n+1}}{n+1}$ siempre que la derivada de lo de dentro sea 1. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área } = \frac{2}{3} \text{ u}^2 \approx 0.667 \text{ u}^2}$$