Estudio de una función a partir de la gráfica de su derivada

**a) (2 puntos) Sea $f$ una función de la que sabemos que la gráfica de su derivada, $f'$, es una parábola con vértice en el punto $(0, 8)$ que corta al eje de abscisas en los puntos $(-4, 0)$ y $(4, 0)$.** **1. Dibuje la gráfica de $f'$.** Para dibujar la gráfica, primero determinamos la ecuación de la parábola $f'(x)$. Una parábola con raíces en $x_1 = -4$ y $x_2 = 4$ tiene la forma: $$f'(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x + 4)(x - 4) = a(x^2 - 16)$$ Como sabemos que el vértice está en $(0, 8)$, sustituimos este punto para hallar $a$: $$8 = a(0^2 - 16) \implies 8 = -16a \implies a = -\frac{8}{16} = -\frac{1}{2}$$ Por tanto, la expresión de la derivada es: $$f'(x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 16) = -\frac{1}{2}x^2 + 8$$ 💡 **Tip:** Una parábola con raíces simétricas respecto al eje $Y$ siempre tiene su vértice en el eje de ordenadas ($x=0$). La gráfica es una parábola cóncava (hacia abajo) que pasa por $(-4,0)$, $(0,8)$ y $(4,0)$.

**2. A partir de dicha gráfica, halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$, así como las abscisas de los extremos relativos de $f$.** La relación entre la función $f$ y su derivada $f'$ es: - $f(x)$ es **creciente** donde $f'(x) \gt 0$ (gráfica por encima del eje $X$). - $f(x)$ es **decreciente** donde $f'(x) \lt 0$ (gráfica por debajo del eje $X$). Analizando la gráfica de la parábola: - $f'(x) \gt 0$ en el intervalo $(-4, 4)$. - $f'(x) \lt 0$ en los intervalos $(-\infty, -4)$ y $(4, +\infty)$. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-4) & -4 & (-4,4) & 4 & (4,+\infty)\\\hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & -\\\hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ **Conclusión:** - Intervalo de crecimiento: **$(-4, 4)$** - Intervalos de decrecimiento: **$(-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$** Los **extremos relativos** ocurren en las abscisas donde $f'(x)$ cambia de signo: - En **$x = -4$** hay un **mínimo relativo** (pasa de decrecer a crecer). - En **$x = 4$** hay un **máximo relativo** (pasa de crecer a decrecer). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-4, 4); \text{ Decrecimiento: } (-\infty, -4) \cup (4, +\infty); \text{ Mín en } x=-4, \text{ Máx en } x=4}$$

**3. Sabiendo que la gráfica de $f$ pasa por el origen de coordenadas, calcule la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.** La ecuación de la recta tangente en $x = a$ es: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. Para $x = 0$: 1. **Punto de tangencia:** El enunciado dice que pasa por el origen, luego $f(0) = 0$. El punto es $(0, 0)$. 2. **Pendiente ($m$):** Es el valor de la derivada en $x = 0$. Según el enunciado, el vértice de $f'$ es $(0, 8)$, por tanto $f'(0) = 8$. Sustituimos en la fórmula: $$y - 0 = 8(x - 0) \implies y = 8x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el valor de la ordenada de la gráfica de la derivada es la pendiente de la recta tangente a la función original. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 8x}$$

**b) (0.5 puntos) Calcule la derivada de la función $g(x) = (-3 + x^2) \cdot e^{2x-1}$** Para derivar $g(x)$, aplicamos la regla del producto: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Definimos las partes: - $u = x^2 - 3 \implies u' = 2x$ - $v = e^{2x-1} \implies v' = 2 \cdot e^{2x-1}$ (aplicando la regla de la cadena) Calculamos $g'(x)$: $$g'(x) = (2x) \cdot e^{2x-1} + (x^2 - 3) \cdot (2e^{2x-1})$$ Ahora factorizamos $e^{2x-1}$ y simplificamos: $$g'(x) = e^{2x-1} [2x + 2(x^2 - 3)]$$ $$g'(x) = e^{2x-1} [2x + 2x^2 - 6]$$ $$g'(x) = 2(x^2 + x - 3)e^{2x-1}$$ 💡 **Tip:** En derivadas de tipo $P(x) \cdot e^{f(x)}$, siempre es conveniente sacar factor común la exponencial al final. ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(x) = 2(x^2 + x - 3)e^{2x-1}}$$