Propiedades de la probabilidad y sucesos independientes

**a) (0.5 puntos) Calcule $P(A)$ y $P(A \cap B)$.** En primer lugar, calculamos la probabilidad del suceso $A$ utilizando la propiedad del suceso contrario: $$P(A) = 1 - P(A^c)$$ $$P(A) = 1 - 0.4 = 0.6$$ Para hallar $P(A \cap B)$, utilizamos la relación entre la probabilidad de la diferencia de sucesos y la intersección. Sabemos que el suceso $A$ se puede descomponer en dos partes disjuntas: la parte de $A$ que no está en $B$ ($A \cap B^c$) y la parte de $A$ que sí está en $B$ ($A \cap B$). $$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0.6 = P(A \cap B) + 0.12$$ $$P(A \cap B) = 0.6 - 0.12 = 0.48$$ 💡 **Tip:** Recuerda siempre que $P(A \cap B^c)$ representa la probabilidad de que ocurra $A$ pero no ocurra $B$. ✅ **Resultados:** $$\boxed{P(A) = 0.6, \quad P(A \cap B) = 0.48}$$

**b) (0.5 puntos) Determine $P(B)$ para que $A$ y $B$ sean independientes.** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades individuales: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Utilizamos los valores obtenidos en el apartado anterior: $$0.48 = 0.6 \cdot P(B)$$ Despejamos $P(B)$: $$P(B) = \frac{0.48}{0.6} = 0.8$$ 💡 **Tip:** La independencia significa que la ocurrencia de un suceso no altera la probabilidad del otro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B) = 0.8}$$

Para abordar el apartado c), es muy útil organizar la información en una tabla de contingencia. Dado que en el apartado c) nos dan $P(B^c) = 0.2$, esto implica que $P(B) = 1 - 0.2 = 0.8$ (coincidiendo con el valor de independencia del apartado anterior). Usamos $P(A)=0.6$ y $P(A \cap B) = 0.48$: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & B^c & \text{Total} \\\hline A & 0.48 & 0.12 & 0.60 \\ A^c & 0.32 & 0.08 & 0.40 \\\hline \text{Total} & 0.80 & 0.20 & 1.00 \end{array}$$ Esta tabla nos permite visualizar todas las intersecciones posibles rápidamente.

**c) (1.5 puntos) Si $P(B^c) = 0.2$, calcule $P(A \cup B), P(A^c \cup B^c)$ y $P(A/B^c)$.** 1. **Cálculo de $P(A \cup B)$:** Usamos la fórmula de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos ($P(B) = 1 - 0.2 = 0.8$): $$P(A \cup B) = 0.6 + 0.8 - 0.48 = 1.4 - 0.48 = 0.92$$ 2. **Cálculo de $P(A^c \cup B^c)$:** Aplicamos las Leyes de De Morgan, que dicen que la unión de complementarios es el complementario de la intersección: $$A^c \cup B^c = (A \cap B)^c$$ $$P(A^c \cup B^c) = 1 - P(A \cap B)$$ $$P(A^c \cup B^c) = 1 - 0.48 = 0.52$$ 3. **Cálculo de $P(A/B^c)$:** Aplicamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(A/B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A/B^c) = \frac{0.12}{0.2} = 0.6$$ 💡 **Tip:** Nota que en este caso $P(A/B^c) = P(A)$, lo cual confirma de nuevo que los sucesos son independientes. ✅ **Resultados:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0.92, \quad P(A^c \cup B^c) = 0.52, \quad P(A/B^c) = 0.6}$$