Intervalo de confianza para la media y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Obtenga un intervalo, con un $95\%$ de confianza, para estimar el tiempo medio de estudio de los alumnos de ese instituto.** Primero, identificamos los datos de la distribución de la población. Sabemos que el tiempo de estudio $X$ sigue una distribución Normal: - Media: $\mu$ (desconocida) - Varianza: $\sigma^2 = 81 \implies$ Desviación típica: $\sigma = \sqrt{81} = 9$ - Tamaño de la muestra: $n = 16$ Calculamos la media de la muestra ($\bar{x}$) sumando los 16 valores y dividiendo por el total: $$\bar{x} = \frac{30 + 42 + 38 + 45 + 52 + 60 + 21 + 26 + 33 + 44 + 28 + 49 + 32 + 51 + 49 + 40}{16}$$ $$\bar{x} = \frac{640}{16} = 40$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si te dan la varianza $\sigma^2$, siempre debes calcular su raíz cuadrada para obtener la desviación típica $\sigma$, que es la que se usa en las fórmulas de intervalos. $$\boxed{\bar{x} = 40, \quad \sigma = 9, \quad n = 16}$$

Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$. Si el nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.95$, entonces: - $\alpha = 0.05$ - $\alpha/2 = 0.025$ Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$. Mirando en la tabla de la Normal estándar $N(0, 1)$: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son: - Para 90%: $z_{\alpha/2} = 1.645$ - Para 95%: $z_{\alpha/2} = 1.96$ - Para 99%: $z_{\alpha/2} = 2.575$ $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{9}{\sqrt{16}} = 1.96 \cdot \frac{9}{4} = 1.96 \cdot 2.25 = 4.41$$ Sustituimos en el intervalo: $$I.C. = (40 - 4.41, 40 + 4.41) = (35.59, 44.41)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (35.59, 44.41)}$$

**b) (1 punto) Calcule el mínimo tamaño de la muestra que se ha de tomar, para estimar el tiempo medio de estudio de esos alumnos con un error inferior a $2$ horas y un nivel de confianza del $98\%$.** Primero, hallamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $98\%$. Si $1 - \alpha = 0.98$, entonces: - $\alpha = 0.02$ - $\alpha/2 = 0.01$ Buscamos en la tabla de la Normal el valor tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99$. El valor más aproximado es: $$z_{\alpha/2} = 2.33$$ 💡 **Tip:** En algunos exámenes, para el 99% de probabilidad acumulada (confianza 98%), se acepta tanto 2.33 como el valor más preciso 2.326. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.33}$$

Queremos que el error sea inferior a 2 horas ($E < 2$). Usamos la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} > \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ Sustituimos los valores conocidos ($z_{\alpha/2} = 2.33$, $\sigma = 9$, $E = 2$): $$\sqrt{n} > \frac{2.33 \cdot 9}{2}$$ $$\sqrt{n} > \frac{20.97}{2}$$ $$\sqrt{n} > 10.485$$ Elevamos al cuadrado para despejar $n$: $$n > (10.485)^2 = 109.935225$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero y el error debe ser **inferior** a 2, debemos redondear siempre hacia el siguiente número entero superior. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 110}$$