Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (1.5 puntos) Represente la región factible definida por las inecuaciones anteriores y determine sus vértices.** Primero, transformamos cada inecuación en una igualdad para obtener las rectas que limitan la región: 1. $r_1: 5x - 4y = -19 \implies y = \frac{5x + 19}{4} = 1.25x + 4.75$ 2. $r_2: 3x - 4y = -13 \implies y = \frac{3x + 13}{4} = 0.75x + 3.25$ 3. $r_3: x = -7$ (Recta vertical) 4. $r_4: -x - y = 2 \implies y = -x - 2$ Determinamos hacia qué lado de cada recta se encuentra el semiplano solución sustituyendo un punto de prueba, como el $(0,0)$: - $r_1: 0 \le -19$ (Falso, el $(0,0)$ no está en la región) - $r_2: 0 \le -13$ (Falso, el $(0,0)$ no está en la región) - $r_3: 0 \ge -7$ (Verdadero) - $r_4: 0 \ge 2$ (Falso) La región factible es el polígono resultante de la intersección de estos semiplanos. 💡 **Tip:** Si al sustituir el $(0,0)$ la inecuación se cumple, la región contiene al origen. Si no se cumple, la región está en el lado opuesto.

Los vértices se hallan resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan: **Vértice A:** Intersección de $r_2$ y $r_4$ (notamos que $r_1$ también pasa por aquí): $$\begin{cases} 3x - 4y = -13 \\ -x - y = 2 \implies y = -x - 2 \end{cases}$$ Sustituimos $y$: $$3x - 4(-x - 2) = -13 \implies 3x + 4x + 8 = -13 \implies 7x = -21 \implies x = -3$$ $$y = -(-3) - 2 = 1 \implies \mathbf{A(-3, 1)}$$ **Vértice B:** Intersección de $r_2$ y $r_3$: $$\begin{cases} x = -7 \\ 3x - 4y = -13 \end{cases} \implies 3(-7) - 4y = -13 \implies -21 - 4y = -13 \implies -4y = 8 \implies y = -2$$ $$\mathbf{B(-7, -2)}$$ **Vértice C:** Intersección de $r_4$ y $r_3$: $$\begin{cases} x = -7 \\ -x - y = 2 \end{cases} \implies -(-7) - y = 2 \implies 7 - y = 2 \implies y = 5$$ $$\mathbf{C(-7, 5)}$$ 💡 **Tip:** En este ejercicio, la recta $r_1$ no limita la región factible más allá de lo que ya lo hace $r_2$, por lo que es redundante, aunque pase por el vértice $A$. ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A(-3, 1), B(-7, -2), C(-7, 5)}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Cuáles son los puntos en los que se alcanzan el mínimo y el máximo de la función $G(x, y) = -\frac{1}{5}x + \frac{5}{2}y$ en la citada región factible? ¿Cuál es su valor?** Evaluamos la función $G(x, y) = -0.2x + 2.5y$ en cada vértice: - $G(A) = G(-3, 1) = -0.2(-3) + 2.5(1) = 0.6 + 2.5 = 3.1$ - $G(B) = G(-7, -2) = -0.2(-7) + 2.5(-2) = 1.4 - 5 = -3.6$ - $G(C) = G(-7, 5) = -0.2(-7) + 2.5(5) = 1.4 + 12.5 = 13.9$ Comparando los resultados: - El valor **mínimo** es **$-3.6$** y se alcanza en el punto **$B(-7, -2)$**. - El valor **máximo** es **$13.9$** y se alcanza en el punto **$C(-7, 5)$**. ✅ **Resultado (Máx/Mín):** $$\boxed{\text{Máx: } 13.9 \text{ en } C(-7, 5); \quad \text{Mín: } -3.6 \text{ en } B(-7, -2)}$$

**c) (0.5 puntos) Responda de forma razonada si la función $G(x, y) = -\frac{1}{5}x + \frac{5}{2}y$ puede alcanzar el valor $\frac{47}{3}$ en la región factible hallada.** Primero, calculamos el valor numérico aproximado de $\frac{47}{3}$: $$\frac{47}{3} \approx 15.67$$ En un problema de programación lineal sobre una región factible acotada (un polígono cerrado), el Teorema Fundamental de la Programación Lineal establece que el máximo y el mínimo de la función objetivo se alcanzan obligatoriamente en los vértices del polígono. Como hemos calculado en el apartado anterior: - El valor máximo posible dentro de la región es $13.9$ (o $\frac{139}{10}$). - Dado que $\frac{47}{3} = 15.666...$, observamos que $15.67 \gt 13.9$. Por tanto, la función **no puede alcanzar el valor $\frac{47}{3}$** porque es superior al valor máximo permitido en toda la región factible. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, ya que } \frac{47}{3} \approx 15.67 > 13.9 \text{ (máximo)}}$$