Estudio completo de una función a trozos

**a) (1 punto) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función $f$ en su dominio.** Para estudiar la continuidad, analizamos primero cada rama por separado: 1. Si $x \lt 0$, $f(x) = 2^{x+1}$ es una función exponencial, que es continua en todo su dominio. 2. Si $x \gt 0$, $f(x) = x^2 - 2x$ es una función polinómica, que es continua en todo $\mathbb{R}$. El único punto problemático es el salto entre ramas en $x = 0$. Calculamos los límites laterales: - Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 2^{x+1} = 2^{0+1} = 2$$ - Límite por la derecha ($x \to 0^+$): $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 - 2x) = 0^2 - 2(0) = 0$$ - Valor de la función en el punto: $$f(0) = 0^2 - 2(0) = 0$$ Como $\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$, existe un salto finito en $x=0$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si existen los límites laterales, son iguales entre sí e iguales al valor de la función en dicho punto. ✅ **Resultado (Continuidad):** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \setminus \{0\}. \text{ En } x=0 \text{ presenta una discontinuidad de salto finito.}}$$

Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él. Como hemos visto que $f$ no es continua en $x=0$, automáticamente **no es derivable en $x=0$**. Para el resto de puntos, calculamos la derivada derivando cada rama: $$f'(x) = \begin{cases} 2^{x+1} \cdot \ln(2) & \text{si } x \lt 0 \\ 2x - 2 & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Ambas expresiones están definidas para sus respectivos intervalos. ✅ **Resultado (Derivabilidad):** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**b) (0.8 puntos) Estudie la monotonía de la función $f$ y calcule el mínimo.** Para estudiar la monotonía, buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$ y los puntos de cambio de rama ($x=0$): 1. En la primera rama ($x \lt 0$): $f'(x) = 2^{x+1} \cdot \ln(2)$. Como $2^{x+1} \gt 0$ y $\ln(2) \gt 0$, entonces $f'(x) \gt 0$ siempre. La función es **creciente** en $(-\infty, 0)$. 2. En la segunda rama ($x \gt 0$): $f'(x) = 2x - 2$. Igualamos a cero: $2x - 2 = 0 \implies x = 1$. Analizamos el signo de la derivada en los intervalos definidos por $x=0$ (salto) y $x=1$ (posible extremo): $$\begin{array}{c|cccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & \nexists & - & 0 & + \\ \hline \text{Monotonía} & \text{Creciente} & \text{Salto} & \text{Decreciente} & \text{Mínimo} & \text{Creciente} \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, $f'(x) \gt 0 \implies$ f es **creciente**. - En $(0, 1)$, tomamos $x=0.5$: $f'(0.5) = 2(0.5)-2 = -1 \lt 0 \implies$ f es **decreciente**. - En $(1, +\infty)$, tomamos $x=2$: $f'(2) = 2(2)-2 = 2 \gt 0 \implies$ f es **creciente**. 💡 **Tip:** Un mínimo relativo se produce cuando la función pasa de ser decreciente a creciente ($f'$ cambia de $-$ a $+$).

A partir del estudio anterior, observamos que hay un mínimo relativo en $x = 1$. Calculamos su coordenada $y$ usando la segunda rama: $$f(1) = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$$ Aunque en $x=0$ hay un salto, al pasar de valer 2 (por la izquierda) a 0 (por la derecha), no hay un mínimo en ese punto en sentido estricto de derivabilidad, pero el valor más bajo alcanzado en el entorno de la segunda rama y tras el crecimiento de la primera es el punto $(1, -1)$. ✅ **Resultado (Monotonía y Mínimo):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Creciente en: } (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) \\ &\text{Decreciente en: } (0, 1) \\ &\text{Mínimo relativo en: } (1, -1) \end{aligned}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "y=\\{x<0: 2^{x+1}, x>=0: x^2-2x\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "min", "latex": "(1, -1)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Mínimo (1, -1)" } ], "bounds": { "left": -3, "right": 3, "bottom": -2, "top": 3 } } }

**c) (0.7 puntos) Calcule $\int_{-2}^{2} f(x) dx$.** Como la función está definida a trozos y el intervalo de integración $[-2, 2]$ cruza el punto de cambio de rama $x=0$, debemos dividir la integral en dos partes: $$\int_{-2}^{2} f(x) dx = \int_{-2}^{0} 2^{x+1} dx + \int_{0}^{2} (x^2 - 2x) dx$$ 💡 **Tip:** Propiedad de aditividad de la integral definida respecto al intervalo: $\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$.

Calculamos la primera integral (exponencial): $$\int_{-2}^{0} 2^{x+1} dx = \left[ \frac{2^{x+1}}{\ln(2)} \right]_{-2}^{0} = \frac{2^{0+1}}{\ln(2)} - \frac{2^{-2+1}}{\ln(2)} = \frac{2}{\ln(2)} - \frac{2^{-1}}{\ln(2)} = \frac{2 - 0.5}{\ln(2)} = \frac{1.5}{\ln(2)} = \frac{3}{2\ln(2)}$$ Calculamos la segunda integral (polinómica): $$\int_{0}^{2} (x^2 - 2x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 \right) - (0) = \frac{8}{3} - 4 = \frac{8 - 12}{3} = -\frac{4}{3}$$ Sumamos ambos resultados para obtener el valor total: $$\int_{-2}^{2} f(x) dx = \frac{3}{2\ln(2)} - \frac{4}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_{-2}^{2} f(x) dx = \frac{3}{2\ln(2)} - \frac{4}{3} \approx 0.8306}$$