Estudio de una función a trozos: COVID-19 en Andalucía

**a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función $f$ en su dominio.** El dominio de la función es $[0.2, 10]$. Primero analizamos la continuidad en el interior de cada rama y luego en los puntos de cambio ($t=1.8$ y $t=5$). - En $(0.2, 1.8)$, $f(t) = -t^2 + 2t - 0.3$ es una función polinómica, por tanto, continua. - En $(1.8, 5)$, $f(t) = 0.1t - 0.12$ es una función polinómica, por tanto, continua. - En $(5, 10)$, $f(t) = -0.5t^2 + 8.3t - 28.62$ es una función polinómica, por tanto, continua. Analizamos el punto **$t = 1.8$**: 1. $f(1.8) = -(1.8)^2 + 2(1.8) - 0.3 = -3.24 + 3.6 - 0.3 = 0.06$ 2. $\lim_{t \to 1.8^-} f(t) = - (1.8)^2 + 2(1.8) - 0.3 = 0.06$ 3. $\lim_{t \to 1.8^+} f(t) = 0.1(1.8) - 0.12 = 0.18 - 0.12 = 0.06$ Como $f(1.8) = \lim_{t \to 1.8^-} f(t) = \lim_{t \to 1.8^+} f(t)$, la función es **continua en $t = 1.8$**. 💡 **Tip:** Para que una función sea continua en un punto, el valor de la función y los límites laterales deben coincidir.

Analizamos el punto **$t = 5$**: 1. $f(5) = 0.1(5) - 0.12 = 0.5 - 0.12 = 0.38$ 2. $\lim_{t \to 5^-} f(t) = 0.1(5) - 0.12 = 0.38$ 3. $\lim_{t \to 5^+} f(t) = -0.5(5)^2 + 8.3(5) - 28.62 = -12.5 + 41.5 - 28.62 = 0.38$ Como coincide el valor de la función con los límites laterales, la función es **continua en $t = 5$**. Por tanto, la función $f(t)$ es **continua en todo su dominio $[0.2, 10]$**.

Calculamos la derivada de la función en los intervalos abiertos: $$f'(t) = \begin{cases} -2t + 2 & \text{si } 0.2 < t < 1.8 \\ 0.1 & \text{si } 1.8 < t < 5 \\ -t + 8.3 & \text{si } 5 < t < 10 \end{cases}$$ Ahora estudiamos la derivabilidad en los puntos de unión comparando las derivadas laterales: **En $t = 1.8$:** - $f'(1.8^-) = -2(1.8) + 2 = -3.6 + 2 = -1.6$ - $f'(1.8^+) = 0.1$ Como $f'(1.8^-) \neq f'(1.8^+)$, la función **no es derivable en $t = 1.8$**. **En $t = 5$:** - $f'(5^-) = 0.1$ - $f'(5^+) = -5 + 8.3 = 3.3$ Como $f'(5^-) \neq f'(5^+)$, la función **no es derivable en $t = 5$**. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{\text{f es continua en } [0.2, 10] \text{ y derivable en } (0.2, 10) \setminus \{1.8, 5\}}$$

**b) (1 punto) ¿En qué instante o instantes es máximo el número de diagnosticados? ¿Cuál es ese número?** Para hallar el máximo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado, debemos evaluar la función en: 1. Los puntos donde la derivada es cero (puntos críticos). 2. Los puntos donde la función no es derivable. 3. Los extremos del intervalo ($t=0.2$ y $t=10$). **Puntos donde $f'(t) = 0$:** - Rama 1: $-2t + 2 = 0 \implies t = 1$. Como $1 \in (0.2, 1.8)$, es un candidato. - Rama 2: $0.1 = 0$ (No tiene solución). - Rama 3: $-t + 8.3 = 0 \implies t = 8.3$. Como $8.3 \in (5, 10)$, es un candidato. 💡 **Tip:** Los máximos pueden ser relativos (donde la derivada cambia de signo) o estar en los bordes del dominio.

Analizamos el signo de la derivada para ver el crecimiento: $$\begin{array}{c|ccccccc} t & (0.2, 1) & 1 & (1, 1.8) & (1.8, 5) & (5, 8.3) & 8.3 & (8.3, 10) \\ \hline f'(t) & + & 0 & - & + & + & 0 & - \\ f(t) & \nearrow & Máx & \searrow & \nearrow & \nearrow & Máx & \searrow \end{array}$$ Evaluamos los valores de $f(t)$ en los candidatos: - Extremo inicial: $f(0.2) = 0.06$ - Punto crítico $t=1$: $f(1) = -1^2 + 2(1) - 0.3 = 0.7$ - Punto de no derivabilidad $t=1.8$: $f(1.8) = 0.06$ - Punto de no derivabilidad $t=5$: $f(5) = 0.38$ - Punto crítico $t=8.3$: $f(8.3) = -0.5(8.3)^2 + 8.3(8.3) - 28.62 = 5.825$ - Extremo final: $f(10) = -0.5(10)^2 + 8.3(10) - 28.62 = 4.38$ Comparando los valores: $0.06, 0.7, 0.38, 5.825$ y $4.38$.

El valor más alto es $5.825$, que ocurre en $t = 8.3$. Dado que $f(t)$ está expresado en miles de personas, el número de diagnosticados es: $$5.825 \times 1000 = 5825 \text{ personas.}$$ El instante es $t = 8.3$ meses después de marzo de 2020. ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{\text{El máximo ocurre en } t = 8.3 \text{ meses con } 5825 \text{ diagnosticados.}}$$