Probabilidad y Estadística 2021 Andalucia
Probabilidad de diagnóstico y test de enfermedad
En una población, se sabe que el $15\%$ de las personas padece una determinada enfermedad. Si la persona está enferma, un test da positivo en el $92\%$ de los casos, mientras que si la persona está sana, el test da positivo en el $4\%$ de los casos (falso positivo). Se elige una persona al azar de esa población.
a) (1.25 puntos) Calcule la probabilidad de que, habiendo dado positivo el test, la persona esté enferma.
b) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma y el test salga negativo.
c) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que saliendo el test negativo, la persona esté enferma.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) (1.25 puntos) Calcule la probabilidad de que, habiendo dado positivo el test, la persona esté enferma.**
Primero definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $E$: La persona está enferma.
- $S$: La persona está sana (suceso contrario a $E$, también denotado como $\bar{E}$).
- $+$: El test da un resultado positivo.
- $-$: El test da un resultado negativo (suceso contrario a $+$).
Organizamos los datos proporcionados en un diagrama de árbol:
- $P(E) = 0.15 \implies P(S) = 1 - 0.15 = 0.85$
- $P(+|E) = 0.92 \implies P(-|E) = 1 - 0.92 = 0.08$
- $P(+|S) = 0.04 \implies P(-|S) = 1 - 0.04 = 0.96$
Paso 2
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
Nos piden calcular $P(E|+)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**.
Primero calculamos la probabilidad total de que el test sea positivo, $P(+)$:
$$P(+) = P(E \cap +) + P(S \cap +) = P(E) \cdot P(+|E) + P(S) \cdot P(+|S)$$
$$P(+) = 0.15 \cdot 0.92 + 0.85 \cdot 0.04 = 0.138 + 0.034 = 0.172$$
Ahora aplicamos Bayes:
$$P(E|+) = \frac{P(E \cap +)}{P(+)} = \frac{0.138}{0.172} \approx 0.8023$$
💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad condicionada $P(A|B)$ se lee como "probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B".
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(E|+) = 0.8023}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad de la intersección
**b) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma y el test salga negativo.**
Este apartado nos pide la probabilidad de la intersección de estar enfermo y que el test sea negativo: $P(E \cap -)$.
Según la estructura del árbol, esta probabilidad es el producto de las ramas correspondientes:
$$P(E \cap -) = P(E) \cdot P(-|E)$$
$$P(E \cap -) = 0.15 \cdot 0.08 = 0.012$$
💡 **Tip:** El conector "y" en probabilidad suele indicar una intersección (producto en el diagrama de árbol).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(E \cap -) = 0.012}$$
Paso 4
Probabilidad condicionada dado un test negativo
**c) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que saliendo el test negativo, la persona esté enferma.**
Nos piden $P(E|-)$. Usamos de nuevo la definición de probabilidad condicionada:
$$P(E|-) = \frac{P(E \cap -)}{P(-)}$$
Calculamos primero $P(-)$ mediante el suceso contrario a $+$ o sumando las ramas del árbol:
$$P(-) = 1 - P(+) = 1 - 0.172 = 0.828$$
*(También se puede calcular como $P(E \cap -) + P(S \cap -) = 0.012 + 0.816 = 0.828$)*
Sustituimos en la fórmula:
$$P(E|-) = \frac{0.012}{0.828} \approx 0.0145$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(E|-) = 0.0145}$$