Probabilidad de uso de transporte y vehículo propio

**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que tenga vehículo propio o use el transporte público.** Primero, definimos los sucesos principales a partir del enunciado: - $V$: El miembro tiene vehículo propio. - $T$: El miembro hace uso del transporte público. Los datos proporcionados son: - $P(V) = 90\% = 0.90$ - $P(T) = 40\% = 0.40$ - $P(\bar{V} \cap \bar{T}) = 3\% = 0.03$ (Probabilidad de que ni tenga vehículo ni use transporte) 💡 **Tip:** Recuerda que el suceso "ni A ni B" se representa como la intersección de los complementarios: $\bar{A} \cap \bar{B}$.

Para calcular la probabilidad de que tenga vehículo propio **o** use el transporte público, buscamos la probabilidad de la unión: $P(V \cup T)$. Por las leyes de De Morgan, sabemos que el complementario de la unión es la intersección de los complementarios: $$P(V \cup T) = 1 - P(\overline{V \cup T}) = 1 - P(\bar{V} \cap \bar{T})$$ Sustituimos el valor conocido: $$P(V \cup T) = 1 - 0.03 = 0.97$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{P(V \cup T) = 0.97}$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos sucesos es siempre $1$ menos la probabilidad de que no ocurra ninguno.

Para resolver los siguientes apartados con mayor claridad, vamos a organizar la información en una tabla de contingencia. Primero calculamos la intersección $P(V \cap T)$ usando la fórmula de la unión: $$P(V \cup T) = P(V) + P(T) - P(V \cap T)$$ $$0.97 = 0.90 + 0.40 - P(V \cap T)$$ $$P(V \cap T) = 1.30 - 0.97 = 0.33$$ Ahora completamos la tabla: $$\begin{array}{c|cc|c} & T & \bar{T} & \text{Total} \\\hline V & 0.33 & 0.57 & 0.90 \\ \bar{V} & 0.07 & 0.03 & 0.10 \\\hline \text{Total} & 0.40 & 0.60 & 1.00 \end{array}$$ Donde: - $P(\bar{V} \cap T) = P(T) - P(V \cap T) = 0.40 - 0.33 = 0.07$ - $P(V \cap \bar{T}) = P(V) - P(V \cap T) = 0.90 - 0.33 = 0.57$ - $P(\bar{V}) = 1 - P(V) = 0.10$

**b) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que use el transporte público y no tenga vehículo propio.** Buscamos la probabilidad de la intersección entre usar transporte ($T$) y no tener vehículo ($\bar{V}$), es decir, $P(T \cap \bar{V})$. Mirando nuestra tabla de contingencia o calculándolo directamente: $$P(T \cap \bar{V}) = P(T) - P(T \cap V)$$ $$P(T \cap \bar{V}) = 0.40 - 0.33 = 0.07$$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{P(T \cap \bar{V}) = 0.07}$$

**c) (1 punto) Calcule la probabilidad de que use el transporte público, sabiendo que no tiene vehículo propio.** Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos hallar $P(T | \bar{V})$. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(T | \bar{V}) = \frac{P(T \cap \bar{V})}{P(\bar{V})}$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: - $P(T \cap \bar{V}) = 0.07$ - $P(\bar{V}) = 1 - P(V) = 1 - 0.90 = 0.10$ Calculamos: $$P(T | \bar{V}) = \frac{0.07}{0.10} = 0.7$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula de la probabilidad condicionada es $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. El denominador siempre es la probabilidad del suceso que ya sabemos que ha ocurrido. ✅ **Resultado (Apartado c):** $$\boxed{P(T | \bar{V}) = 0.7}$$ Esto significa que hay un $70\%$ de probabilidad de que alguien use el transporte público si sabemos que no dispone de vehículo propio.