Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo de confianza al $99.5\%$, para estimar la proporción real de esos residentes que está a favor de la salida del Reino Unido de la UE.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 250$ - Residentes a favor: $x = 115$ Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$), que es la proporción de la muestra que está a favor: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{115}{250} = 0.46$$ Calculamos también el valor complementario ($\hat{q}$), que representa la proporción que no está a favor: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.46 = 0.54$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la proporción muestral siempre es $\hat{p} = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos totales}}$. $$\boxed{\hat{p} = 0.46, \quad \hat{q} = 0.54}$$

Para un nivel de confianza del $99.5\%$, determinamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.995$ 2. Calculamos $\alpha$: $\alpha = 1 - 0.995 = 0.005$ 3. Calculamos $\alpha/2$: $\alpha/2 = \frac{0.005}{2} = 0.0025$ 4. Buscamos el valor de la probabilidad acumulada: $1 - \alpha/2 = 1 - 0.0025 = 0.9975$ Buscamos en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$ el valor de $z$ tal que $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.9975$. Mirando la tabla, observamos que para una probabilidad de $0.9975$, el valor es: $$z_{\alpha/2} = 2.81$$ 💡 **Tip:** Si el valor de probabilidad no aparece exacto en la tabla, toma el más cercano o haz una media aritmética si está justo en el centro. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.81}$$

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2.81 \cdot \sqrt{\frac{0.46 \cdot 0.54}{250}} = 2.81 \cdot \sqrt{\frac{0.2484}{250}}$$ $$E = 2.81 \cdot \sqrt{0.0009936} \approx 2.81 \cdot 0.031521 \approx 0.08857$$ Redondeando a cuatro decimales: $E \approx 0.0886$. Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0.46 - 0.0886 = 0.3714$ - Límite superior: $0.46 + 0.0886 = 0.5486$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.3714, \, 0.5486)}$$

**b) (1 punto) Manteniendo la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo necesario de la muestra, para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la UE, con un error inferior al $5\%$.** Datos para este apartado: - Nivel de confianza $99.5\% \implies z_{\alpha/2} = 2.81$ - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.46$ y $\hat{q} = 0.54$ - Error máximo: $E < 0.05$ (ya que el enunciado indica $5\%$) La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$. Despejamos $n$: $$n > \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E} \right)^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}$$ Sustituimos los valores: $$n > \left( \frac{2.81}{0.05} \right)^2 \cdot 0.46 \cdot 0.54$$ $$n > (56.2)^2 \cdot 0.2484$$ $$n > 3158.44 \cdot 0.2484 \approx 784.556$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **inferior** al $5\%$, debemos redondear siempre al entero superior. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea bajo, siempre redondeamos hacia arriba para asegurar que el error sea menor al máximo permitido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 785 \text{ residentes}}$$