Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la desviación típica de la distribución de las medias de las muestras de tamaño $12$ de la variable aleatoria $X$?** Sabemos que si una variable aleatoria $X$ sigue una distribución Normal $N(\mu, \sigma)$, entonces la distribución de las medias muestrales $\bar{X}$ de tamaño $n$ sigue una distribución Normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ En este caso, los datos son: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 4$ - Tamaño de la muestra: $n = 12$ La desviación típica de la distribución de las medias muestrales (también llamada error típico) es: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{12}}$$ Simplificamos la expresión: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{4}{\sqrt{4 \cdot 3}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la variabilidad de las medias de las muestras es siempre menor que la variabilidad de los datos individuales, por eso dividimos por $\sqrt{n}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma_{\bar{x}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547}$$

**b) (1 punto) Para estimar la media poblacional de la variable $X$, se toma una muestra aleatoria de tamaño $12$, obteniéndose los siguientes resultados... determine un intervalo de confianza al $97\%$ para estimar la media poblacional.** Primero, calculamos la media de la muestra ($\bar{x}$) sumando todos los valores y dividiendo por el número total de datos ($n=12$): $$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$$ $$\bar{x} = \frac{11.8 + 10 + 9.8 + 12 + 9.7 + 10.8 + 9.6 + 11.3 + 10.4 + 12.2 + 9.1 + 10.5}{12}$$ $$\bar{x} = \frac{127.2}{12} = 10.6$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de sumar con cuidado todos los decimales para no arrastrar errores en los pasos siguientes.

Para un nivel de confianza del $97\%$, tenemos que: $$1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.015 = 0.985$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, encontramos que el valor que corresponde a una probabilidad de $0.985$ es: $$z_{\alpha/2} = 2.17$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, se toma el más próximo o se realiza una interpolación lineal.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \, , \, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{4}{\sqrt{12}} = 2.17 \cdot 1.1547 \approx 2.5057$$ Ahora aplicamos los límites: - Límite inferior: $10.6 - 2.5057 = 8.0943$ - Límite superior: $10.6 + 2.5057 = 13.1057$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (8.0943, \, 13.1057)}$$

**c) (1 punto) Calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra, para que, con el mismo nivel de confianza, el error cometido al estimar la media poblacional sea menor que $1.2$.** El error máximo viene dado por la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que $E \lt 1.2$. Usamos el mismo nivel de confianza ($97\%$), por lo que $z_{\alpha/2} = 2.17$ y mantenemos $\sigma = 4$: $$2.17 \cdot \frac{4}{\sqrt{n}} \lt 1.2$$ Despejamos $\sqrt{n}$: $$\frac{8.68}{\sqrt{n}} \lt 1.2 \implies \frac{8.68}{1.2} \lt \sqrt{n}$$ $$7.2333 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos lados para hallar $n$: $$n \gt (7.2333)^2$$ $$n \gt 52.3211$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y buscamos el mínimo que cumpla la condición de que el error sea **menor** que $1.2$, debemos redondear siempre al entero superior. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea pequeño, siempre redondeamos hacia arriba para garantizar que el error sea inferior al máximo permitido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 53}$$