Programación lineal: Surtidos de frutos rojos y optimización de función

**a) (1 punto) Formule, sin resolver, el problema que permite obtener el número de surtidos de cada tipo que debe vender para que el beneficio sea máximo.** Primero, definimos las variables de decisión: - $x$: número de surtidos de tipo $A$. - $y$: número de surtidos de tipo $B$. La función objetivo representa el beneficio total que queremos maximizar basándonos en los precios de venta: $$f(x, y) = 2.40x + 1.80y$$ 💡 **Tip:** Las variables siempre deben representar las cantidades que queremos hallar para cumplir el objetivo del problema (en este caso, maximizar el beneficio).

A continuación, establecemos las limitaciones físicas y comerciales del problema. Es fundamental unificar las unidades (pasamos kg a g: $3.75\text{ kg} = 3750\text{ g}$ y $4\text{ kg} = 4000\text{ g}$): 1. **Arándanos:** $75x + 75y \le 3750$. Simplificando entre 75: $x + y \le 50$. 2. **Frambuesas:** $100x + 50y \le 4000$. Simplificando entre 50: $2x + y \le 80$. 3. **Relación comercial:** El número de surtidos tipo $A$ es menor o igual al doble de los de tipo $B$: $x \le 2y$. 4. **No negatividad:** Como son cantidades físicas, $x \ge 0$ y $y \ge 0$. El problema formulado es: $$\text{Maximizar } f(x, y) = 2.40x + 1.80y$$ Sujeto a: $$\begin{cases} x + y \le 50 \\ 2x + y \le 80 \\ x \le 2y \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\text{Maximizar } f(x, y) = 2.40x + 1.80y \text{ sujeto a: } x+y\le 50, \, 2x+y\le 80, \, x\le 2y, \, x,y\ge 0}$$

**b) (1.5 puntos) Represente el recinto limitado por las siguientes restricciones, calculando sus vértices:** $$x + 4y \ge 5 \quad x + 2y \ge 4 \quad 7x + 5y \le 35 \quad x \ge 0$$ Para hallar los vértices, calculamos los puntos de intersección de las rectas asociadas: 1. **Vértice $A$** (Intersección $x=0$ y $7x+5y=35$): $7(0) + 5y = 35 \implies y = 7$. Punto **$A(0, 7)$**. 2. **Vértice $B$** (Intersección $x=0$ y $x+2y=4$): $0 + 2y = 4 \implies y = 2$. Punto **$B(0, 2)$**. 3. **Vértice $C$** (Intersección $x+2y=4$ y $x+4y=5$): Restamos las ecuaciones: $(x+4y) - (x+2y) = 5 - 4 \implies 2y = 1 \implies y = 0.5$. Sustituimos: $x + 2(0.5) = 4 \implies x + 1 = 4 \implies x = 3$. Punto **$C(3, 0.5)$**. 4. **Vértice $D$** (Intersección $x+4y=5$ y $7x+5y=35$): De la primera, $x = 5-4y$. Sustituimos en la segunda: $7(5-4y) + 5y = 35 \implies 35 - 28y + 5y = 35 \implies -23y = 0 \implies y = 0$. Sustituimos: $x = 5 - 4(0) = 5$. Punto **$D(5, 0)$**. 💡 **Tip:** Para representar el recinto, dibuja las rectas y usa un punto de prueba (como el $(0,0)$ si no pasa por él) para ver qué semiplano cumple cada inecuación.

Evaluamos la función $F(x, y) = 2x + y$ en cada uno de los vértices calculados para hallar el mínimo: - $F(A) = F(0, 7) = 2(0) + 7 = 7$ - $F(B) = F(0, 2) = 2(0) + 2 = 2$ - $F(C) = F(3, 0.5) = 2(3) + 0.5 = 6.5$ - $F(D) = F(5, 0) = 2(5) + 0 = 10$ Comparando los valores obtenidos ($7, 2, 6.5, 10$), el valor mínimo es $2$. 💡 **Tip:** En programación lineal con regiones acotadas, el óptimo (máximo o mínimo) siempre se encuentra en uno de los vértices del recinto o en un segmento que los une. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\text{El mínimo se alcanza en el punto } (0, 2) \text{ con un valor de } F(0, 2) = 2}$$