Resolución de una ecuación matricial

Antes de responder a los apartados, vamos a calcular la matriz resultante de la operación $(10 I_3 - A)$, a la que llamaremos $M$ para simplificar la notación. $10 I_3 = 10 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{pmatrix}$ Ahora restamos la matriz $A$: $$M = 10 I_3 - A = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -1 & 0 \\ -4 & 8 & 0 \\ -2 & -2 & 5 \end{pmatrix}$$ La ecuación queda como $M \cdot X = B$.

**a) (0.5 puntos) Razone qué dimensión ha de tener la matriz $X$.** Para que el producto de dos matrices sea posible, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. Además, la matriz resultante tendrá el número de filas de la primera y el número de columnas de la segunda. En la ecuación $M_{3 \times 3} \cdot X_{m \times n} = B_{3 \times 1}$: 1. Para que se pueda multiplicar $M$ por $X$, el número de filas de $X$ debe ser igual al número de columnas de $M$, por tanto, **$m = 3$**. 2. La dimensión del resultado $B$ es $3 \times n$. Como sabemos que $B$ es $3 \times 1$, entonces **$n = 1$**. 💡 **Tip:** Recuerda la regla: $(a \times b) \cdot (b \times c) = (a \times c)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } X \text{ debe tener dimensión } 3 \times 1}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Tiene solución la ecuación matricial anterior para cualquier matriz $B$ de orden $3 \times 1$? ¿Por qué?** Una ecuación matricial de la forma $M \cdot X = B$ tiene solución única para cualquier $B$ si la matriz $M$ es **invertible**, es decir, si su determinante es distinto de cero ($|M| \neq 0$). Calculamos el determinante de $M = \begin{pmatrix} 8 & -1 & 0 \\ -4 & 8 & 0 \\ -2 & -2 & 5 \end{pmatrix}$ desarrollando por la tercera columna, ya que tiene dos ceros: $$|M| = 5 \cdot \begin{vmatrix} 8 & -1 \\ -4 & 8 \end{vmatrix} = 5 \cdot (64 - 4) = 5 \cdot 60 = 300$$ Como $|M| = 300 \neq 0$, la matriz $M$ tiene inversa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, tiene solución única porque } |10 I_3 - A| \neq 0, \text{ lo que garantiza que la matriz es invertible.}}$$

**c) (1.5 puntos) Resuelva dicha ecuación matricial si $B = \begin{pmatrix} 5 & 20 & -3 \end{pmatrix}^t$.** Primero, expresamos $B$ en columna: $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 20 \\ -3 \end{pmatrix}$. Para despejar $X$ en $M \cdot X = B$, multiplicamos por la izquierda por $M^{-1}$: $$X = M^{-1} \cdot B$$ Calculamos $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^t$. Ya sabemos que $|M| = 300$. Hallamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(M)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 8 & 0 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} = 40 \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} -4 & 0 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} = 20 \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} -4 & 8 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = 24$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} = 5 \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 8 & 0 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} = 40 \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 8 & -1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = 18$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 8 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 8 & 0 \\ -4 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 8 & -1 \\ -4 & 8 \end{vmatrix} = 60$ La matriz adjunta traspuesta es: $$\text{Adj}(M)^t = \begin{pmatrix} 40 & 5 & 0 \\ 20 & 40 & 0 \\ 24 & 18 & 60 \end{pmatrix}$$ Entonces: $M^{-1} = \frac{1}{300} \begin{pmatrix} 40 & 5 & 0 \\ 20 & 40 & 0 \\ 24 & 18 & 60 \end{pmatrix}$

Ahora realizamos el producto $X = M^{-1} \cdot B$: $$X = \frac{1}{300} \begin{pmatrix} 40 & 5 & 0 \\ 20 & 40 & 0 \\ 24 & 18 & 60 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 20 \\ -3 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos la matriz por el vector: - Fila 1: $40 \cdot 5 + 5 \cdot 20 + 0 \cdot (-3) = 200 + 100 = 300$ - Fila 2: $20 \cdot 5 + 40 \cdot 20 + 0 \cdot (-3) = 100 + 800 = 900$ - Fila 3: $24 \cdot 5 + 18 \cdot 20 + 60 \cdot (-3) = 120 + 360 - 180 = 300$ $$X = \frac{1}{300} \begin{pmatrix} 300 \\ 900 \\ 300 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}}$$