Estudio de una función a trozos: continuidad, derivabilidad, extremos y áreas

**a) (1 punto) Calcule los valores $a$ y $b$ para que la función sea continua en su dominio. Para esos valores, ¿es $f$ derivable?** El dominio de la función es $[-4, 3]$. La función está compuesta por tres ramas polinómicas, que son continuas en sus intervalos abiertos. Debemos asegurar la continuidad en los puntos de salto entre ramas: $x = -2$ y $x = 2$. **Continuidad en $x = -2$:** Para que sea continua, debe cumplirse que $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) = f(-2)$. - $f(-2) = -2(-2) + 2a = 4 + 2a$ - $\lim_{x \to -2^-} f(x) = 4 + 2a$ - $\lim_{x \to -2^+} f(x) = -2(-2)^2 - 4a = -8 - 4a$ Igualamos: $4 + 2a = -8 - 4a \implies 6a = -12 \implies \mathbf{a = -2}$. **Continuidad en $x = 2$:** - $f(2) = -2(2)^2 - 4a$. Como $a = -2$: $f(2) = -8 - 4(-2) = -8 + 8 = 0$. - $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 0$ - $\lim_{x \to 2^+} f(x) = -8(2) + b = -16 + b$ Igualamos: $0 = -16 + b \implies \mathbf{b = 16}$. 💡 **Tip:** Una función a trozos es continua si en los puntos donde cambia la definición, los límites por la izquierda y la derecha coinciden con el valor de la función en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -2, \quad b = 16}$$

Para estudiar la derivabilidad con $a = -2$ y $b = 16$, primero escribimos la función sustituyendo los valores: $$f(x) = \begin{cases} -2x - 4 & \text{si } -4 \le x \le -2 \\ -2x^2 + 8 & \text{si } -2 < x \le 2 \\ -8x + 16 & \text{si } 2 < x \le 3 \end{cases}$$ Calculamos la derivada en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } -4 < x < -2 \\ -4x & \text{si } -2 < x < 2 \\ -8 & \text{si } 2 < x < 3 \end{cases}$$ **Derivabilidad en $x = -2$:** - $f'(-2^-) = -2$ - $f'(-2^+) = -4(-2) = 8$ Como $-2 \neq 8$, la función **no es derivable en $x = -2$**. **Derivabilidad en $x = 2$:** - $f'(2^-) = -4(2) = -8$ - $f'(2^+) = -8$ Como $-8 = -8$, la función **es derivable en $x = 2$**. 💡 **Tip:** Para que una función continua sea derivable en un punto, las derivadas laterales deben existir y ser iguales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f \text{ no es derivable en } x = -2, \text{ pero sí en } x = 2}$$

**b) (0.8 puntos) Para $a = -2$ y $b = 16$, estudie la monotonía de la función $f$ y calcule sus extremos relativos y absolutos.** Utilizamos $f'(x)$ hallada anteriormente. Buscamos puntos críticos donde $f'(x) = 0$: En $(-2, 2)$, $-4x = 0 \implies x = 0$. Estudiamos el signo de $f'(x)$ en el dominio: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & [-4, -2) & -2 & (-2, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, 3] \\\hline f'(x) & - & \nexists & + & 0 & - & -8 & - & - \\\hline f(x) & \searrow & \min. rel. & \nearrow & \max. rel. & \searrow & \text{continua} & \searrow & \searrow \end{array}$$ **Intervalos de monotonía:** - Creciente en $( -2, 0 )$. - Decreciente en $(-4, -2) \cup (0, 3)$. **Extremos:** Calculamos los valores de la función en los puntos clave: - $f(-4) = -2(-4)-4 = 4$ - $f(-2) = 0$ (Mínimo relativo) - $f(0) = -2(0)^2+8 = 8$ (Máximo relativo) - $f(3) = -8(3)+16 = -8$ Comparando valores: - **Máximo absoluto:** $(0, 8)$ - **Mínimo absoluto:** $(3, -8)$ - **Máximo relativo:** $(0, 8)$ - **Mínimo relativo:** $(-2, 0)$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máx. Abs: } (0, 8), \quad \text{Mín. Abs: } (3, -8)}$$ $$\boxed{\text{Máx. Rel: } (0, 8), \quad \text{Mín. Rel: } (-2, 0)}$$

**c) (0.7 puntos) Para $a = -2$ y $b = 16$, calcule el área del recinto limitado por la gráfica de $f$, el eje $OX$ y las rectas $x = -2$ y $x = 2$.** En el intervalo $[-2, 2]$, la función es $f(x) = -2x^2 + 8$. Comprobamos si la función corta al eje $OX$ en este intervalo: $-2x^2 + 8 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. Como solo se anula en los extremos y $f(0) = 8 > 0$, la función es siempre positiva en $(-2, 2)$. El área viene dada por la integral definida: $$A = \int_{-2}^{2} (-2x^2 + 8) \, dx$$ Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 8x \right]_{-2}^{2}$$ $$A = \left( -\frac{2(2)^3}{3} + 8(2) \right) - \left( -\frac{2(-2)^3}{3} + 8(-2) \right)$$ $$A = \left( -\frac{16}{3} + 16 \right) - \left( \frac{16}{3} - 16 \right) = \frac{32}{3} - \left( -\frac{32}{3} \right) = \frac{64}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área es $\int_a^b |f(x)| \, dx$. Como aquí $f(x) \ge 0$, no necesitamos valor absoluto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \frac{64}{3} \approx 21.33 \text{ u}^2}$$