Derivadas y cálculo de una primitiva

**a) (1 punto) Calcule la derivada de las siguientes funciones: $f(x) = (5x^3 + 4x - 2)^4 \cdot \ln(2x^5 - 4x^3 + x)$ y $g(x) = \frac{e^{3x^2-5x}}{(6x^2 + 2)^3}$** Para derivar $f(x)$ observamos que es un producto de dos funciones: una potencia y un logaritmo neperiano. Aplicamos la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ y la regla de la cadena. Llamamos: - $u = (5x^3 + 4x - 2)^4 \implies u' = 4(5x^3 + 4x - 2)^3 \cdot (15x^2 + 4)$ - $v = \ln(2x^5 - 4x^3 + x) \implies v' = \frac{10x^4 - 12x^2 + 1}{2x^5 - 4x^3 + x}$ Sustituyendo en la fórmula del producto: $$f'(x) = [4(5x^3 + 4x - 2)^3 (15x^2 + 4)] \cdot \ln(2x^5 - 4x^3 + x) + (5x^3 + 4x - 2)^4 \cdot \frac{10x^4 - 12x^2 + 1}{2x^5 - 4x^3 + x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una potencia es $[u^n]' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$ y la de un logaritmo es $[\ln(u)]' = \frac{u'}{u}$. ✅ **Resultado (derivada f):** $$\boxed{f'(x) = 4(15x^2 + 4)(5x^3 + 4x - 2)^3 \ln(2x^5 - 4x^3 + x) + \frac{(5x^3 + 4x - 2)^4(10x^4 - 12x^2 + 1)}{2x^5 - 4x^3 + x}}$$

Para derivar $g(x)$ aplicamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. - Numerador: $u = e^{3x^2-5x} \implies u' = (6x-5)e^{3x^2-5x}$ - Denominador: $v = (6x^2 + 2)^3 \implies v' = 3(6x^2 + 2)^2 \cdot 12x = 36x(6x^2 + 2)^2$ Aplicamos la regla: $$g'(x) = \frac{(6x-5)e^{3x^2-5x}(6x^2 + 2)^3 - e^{3x^2-5x} \cdot 36x(6x^2 + 2)^2}{[(6x^2 + 2)^3]^2}$$ Para simplificar, sacamos factor común $e^{3x^2-5x}(6x^2 + 2)^2$ en el numerador: $$g'(x) = \frac{e^{3x^2-5x}(6x^2 + 2)^2 \cdot [(6x-5)(6x^2 + 2) - 36x]}{(6x^2 + 2)^6}$$ Simplificamos la potencia del denominador dividiendo por $(6x^2 + 2)^2$ y operamos el corchete: $$g'(x) = \frac{e^{3x^2-5x} [36x^3 + 12x - 30x^2 - 10 - 36x]}{(6x^2 + 2)^4}$$ $$g'(x) = \frac{e^{3x^2-5x} [36x^3 - 30x^2 - 24x - 10]}{(6x^2 + 2)^4}$$ ✅ **Resultado (derivada g):** $$\boxed{g'(x) = \frac{e^{3x^2-5x}(36x^3 - 30x^2 - 24x - 10)}{(6x^2 + 2)^4}}$$

**b) (1.5 puntos) Halle la función $h(x)$, sabiendo que su derivada es $h'(x) = 4x^3 + x^2 - 4x - 1$ y que $h(2) = \frac{11}{3}$.** Para obtener $h(x)$ a partir de su derivada, debemos calcular la integral indefinida de $h'(x)$: $$h(x) = \int (4x^3 + x^2 - 4x - 1) dx$$ Como es una integral de un polinomio, aplicamos la regla de la potencia $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ término a término: $$h(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C$$ $$h(x) = x^4 + \frac{x^3}{3} - 2x^2 - x + C$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca sumar la constante de integración $C$ cuando calcules una integral indefinida. $$\boxed{h(x) = x^4 + \frac{x^3}{3} - 2x^2 - x + C}$$

Utilizamos la condición inicial $h(2) = \frac{11}{3}$ para hallar el valor exacto de $C$. Sustituimos $x = 2$ en nuestra expresión de $h(x)$: $$h(2) = 2^4 + \frac{2^3}{3} - 2(2^2) - 2 + C = \frac{11}{3}$$ $$16 + \frac{8}{3} - 8 - 2 + C = \frac{11}{3}$$ $$6 + \frac{8}{3} + C = \frac{11}{3}$$ Para operar más fácilmente, ponemos el 6 en tercios: $6 = \frac{18}{3}$: $$\frac{18}{3} + \frac{8}{3} + C = \frac{11}{3}$$ $$\frac{26}{3} + C = \frac{11}{3}$$ Despejamos $C$: $$C = \frac{11}{3} - \frac{26}{3} = -\frac{15}{3} = -5$$ Por tanto, la función buscada es: $$h(x) = x^4 + \frac{x^3}{3} - 2x^2 - x - 5$$ ✅ **Resultado (función h):** $$\boxed{h(x) = x^4 + \frac{x^3}{3} - 2x^2 - x - 5}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "h", "latex": "h(x) = x^4 + \\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - x - 5", "color": "#2563eb" }, { "id": "p1", "latex": "(2, 11/3)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "h(2)=11/3" } ], "bounds": { "left": -3, "right": 3, "bottom": -10, "top": 10 } } }