Probabilidad: Teorema de la Probabilidad Total y Bayes

**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que reaccione a la prueba del nitrato.** Primero, definimos los sucesos que aparecen en el enunciado: - $A$: La bacteria es del tipo $A$. - $B$: La bacteria es del tipo $B$. - $R$: La bacteria reacciona a la prueba del nitrato. - $\overline{R}$: La bacteria no reacciona a la prueba del nitrato. Extraemos las probabilidades dadas: - $P(A) = 0.70$ (el $70\%$ son de tipo $A$) - $P(B) = 0.30$ (el $30\%$ son de tipo $B$) - $P(R|A) = 0.15$ (probabilidad de reaccionar si es tipo $A$) - $P(R|B) = 0.8$ (probabilidad de reaccionar si es tipo $B$) Podemos representar esta información en un **árbol de probabilidad** para visualizar todos los caminos:

Para calcular $P(R)$ utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. La bacteria puede reaccionar si es del tipo $A$ O si es del tipo $B$. $$P(R) = P(A) \cdot P(R|A) + P(B) \cdot P(R|B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(R) = (0.7 \cdot 0.15) + (0.3 \cdot 0.8)$$ $$P(R) = 0.105 + 0.24 = 0.345$$ 💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total consiste en sumar las probabilidades de todas las ramas del árbol que terminan en el suceso deseado ($R$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R) = 0.345}$$

**b) (1 punto) Si la bacteria ha reaccionado a la prueba del nitrato, calcule la probabilidad de que sea del tipo $B$.** Nos piden calcular una probabilidad a posteriori, es decir, sabiendo que el efecto (reaccionar) ya ha ocurrido. Usamos el **Teorema de Bayes**: $$P(B|R) = \frac{P(B \cap R)}{P(R)} = \frac{P(B) \cdot P(R|B)}{P(R)}$$ Utilizamos el valor de $P(R)$ obtenido en el apartado anterior: $$P(B|R) = \frac{0.3 \cdot 0.8}{0.345} = \frac{0.24}{0.345}$$ Realizamos la división: $$P(B|R) \approx 0.6957$$ 💡 **Tip:** Bayes siempre relaciona la probabilidad de una "causa" (tipo B) dado un "efecto" (reacción). Es la parte de la rama favorable dividida por el total calculado antes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|R) = \frac{240}{345} \approx 0.6957}$$

**c) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que la bacteria sea del tipo $A$ y no reaccione a la prueba del nitrato.** En este apartado nos piden la probabilidad de la intersección de dos sucesos: que sea del tipo $A$ **Y** ($\\cap$) que no reaccione ($\overline{R}$). Según la fórmula de la probabilidad compuesta: $$P(A \cap \overline{R}) = P(A) \cdot P(\overline{R}|A)$$ Primero calculamos $P(\overline{R}|A)$, que es el complementario de reaccionar si eres tipo $A$: $$P(\overline{R}|A) = 1 - P(R|A) = 1 - 0.15 = 0.85$$ Ahora calculamos la probabilidad final: $$P(A \cap \overline{R}) = 0.7 \cdot 0.85 = 0.595$$ 💡 **Tip:** En el árbol de probabilidad, esto corresponde simplemente a multiplicar las probabilidades a lo largo de la rama que va de 'Inicio' $\to$ 'A' $\to$ '$\overline{R}$'. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap \overline{R}) = 0.595}$$