Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) (1.5 puntos) Obtenga un intervalo de confianza al $95\%$, para estimar la proporción real de imprentas que usan celulosa reciclada.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 50$ - Número de éxitos (imprentas que usan celulosa): $x = 12$ Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{12}{50} = 0.24$$ Por lo tanto, la proporción de imprentas que no usan dicho material ($\hat{q}$) es: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.24 = 0.76$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral siempre es el número de casos favorables dividido por el total de la muestra.

Para un nivel de confianza del $95\%$, determinamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ 3. Repartimos el error en las dos colas de la normal: $\alpha/2 = 0.025$ Buscamos el valor en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$ tal que la probabilidad a su izquierda sea $1 - \alpha/2$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$$ Consultando la tabla, encontramos que el valor exacto para $0.975$ corresponde a: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** El valor $z_{\alpha/2} = 1.96$ es muy común para el $95\%$, conviene memorizarlo para ganar tiempo en los exámenes.

El error máximo admisible ($E$) para una proporción se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos nuestros valores: $$E = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.24 \cdot 0.76}{50}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.1824}{50}} = 1.96 \cdot \sqrt{0.003648}$$ $$E \approx 1.96 \cdot 0.0604 = 0.1184$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: - Límite inferior: $0.24 - 0.1184 = 0.1216$ - Límite superior: $0.24 + 0.1184 = 0.3584$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{I.C._{95\%} = (0.1216, \, 0.3584)}$$

**b) (1 punto) Determine el tamaño mínimo de la muestra de imprentas de esa región que se deben seleccionar para que, manteniendo el mismo nivel de confianza y proporción muestral anteriores, la amplitud del intervalo sea como máximo de $0.2$.** Nos piden que la **amplitud** sea como máximo $0.2$. La amplitud ($A$) de un intervalo de confianza es el doble del error ($A = 2E$). Si la amplitud máxima es $0.2$: $$2E \le 0.2 \implies E \le 0.1$$ Los datos que mantenemos son: - Valor crítico: $z_{\alpha/2} = 1.96$ - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.24$ y $\hat{q} = 0.76$ 💡 **Tip:** No confundas error con amplitud. La amplitud es la distancia total del intervalo (de punta a punta), mientras que el error es la distancia desde el centro del intervalo a uno de los extremos.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos con el error máximo permitido ($E = 0.1$): $$n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.24 \cdot 0.76}{(0.1)^2} = \frac{3.8416 \cdot 0.1824}{0.01} = \frac{0.70070784}{0.01} = 70.070784$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y buscamos que el error sea **como máximo** un valor dado, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el intervalo no sea más ancho de lo permitido. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{n = 71 \text{ imprentas}}$$