Potencias de matrices y ecuaciones matriciales

**a) (0.7 puntos) Calcule $A^{40}$ y $(A^t)^{30}$.** Para calcular una potencia elevada como $A^{40}$, primero buscamos una regla o patrón calculando las primeras potencias de $A$: $A^1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ $A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 0\cdot(-1) & 1\cdot 0 + 0\cdot 1 \\ -1\cdot 1 + 1\cdot(-1) & -1\cdot 0 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ $A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ Observamos que el elemento $a_{21}$ coincide con el exponente cambiado de signo. Por inducción, la matriz elevada a $n$ es: $$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -n & 1 \end{pmatrix}$$ Para $n = 40$: $$\boxed{A^{40} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -40 & 1 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** No multipliques 40 veces. Busca siempre el patrón en $A^2$ y $A^3$.

Para calcular $(A^t)^{30}$, utilizaremos la propiedad de las matrices que dice que la potencia de una traspuesta es igual a la traspuesta de la potencia: $(A^t)^n = (A^n)^t$. Primero, siguiendo el patrón anterior, calculamos $A^{30}$: $$A^{30} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -30 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora, trasponemos el resultado (cambiamos filas por columnas): $$(A^{30})^t = \begin{pmatrix} 1 & -30 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{A^{40} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -40 & 1 \end{pmatrix}, \quad (A^t)^{30} = \begin{pmatrix} 1 & -30 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) (0.6 puntos) Calcule $(A^{-1} + A)^2$.** Primero calculamos $A^{-1}$. Para una matriz $2 \times 2$, $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. 1. Determinante: $|A| = (1 \cdot 1) - (0 \cdot -1) = 1$. 2. Matriz inversa: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

Ahora realizamos la suma $(A^{-1} + A)$: $$A^{-1} + A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Observamos que el resultado es la matriz identidad multiplicada por 2, es decir, $2I_2$. Elevamos al cuadrado: $$(A^{-1} + A)^2 = (2I_2)^2 = 4I_2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$$ O de forma extendida: $$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{(A^{-1} + A)^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}}$$

**c) (1.2 puntos) Resuelva la ecuación matricial $(A^t + I_2) \cdot X = A^t - I_2$.** Llamemos $B = (A^t + I_2)$ y $C = (A^t - I_2)$. La ecuación es $B \cdot X = C$. Si $B$ tiene inversa, podemos despejar $X$ multiplicando por $B^{-1}$ por la izquierda: $$X = B^{-1} \cdot C$$ Primero calculamos $A^t$: $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $B$ y $C$: $$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ $$C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden importa. Si $B$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe aparecer a la izquierda de $C$.

Calculamos $B^{-1}$: 1. Determinante: $|B| = (2 \cdot 2) - (-1 \cdot 0) = 4$. 2. Inversa de $B$: $$B^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Finalmente, calculamos $X = B^{-1} \cdot C$: $$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2\cdot 0 + 1\cdot 0 & 2\cdot(-1) + 1\cdot 0 \\ 0\cdot 0 + 2\cdot 0 & 0\cdot(-1) + 2\cdot 0 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2/4 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1/2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & -1/2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}$$