Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (1.5 puntos) Represente la región factible definida por las inecuaciones anteriores y determine sus vértices.** Para representar la región factible, primero transformamos cada inecuación en una igualdad para obtener las rectas que limitan la región: 1. $r_1: 5x - 3y = -9$ 2. $r_2: x + y = 11$ 3. $r_3: 6x + y = 36$ 4. $r_4: x + 2y = 6$ Para saber qué semiplano elegir, probamos con un punto auxiliar, por ejemplo el $(0,0)$, en cada inecuación: - $5(0) - 3(0) \ge -9 \implies 0 \ge -9$ (**Verdadero**). El semiplano contiene al $(0,0)$. - $0 + 0 \le 11 \implies 0 \le 11$ (**Verdadero**). El semiplano contiene al $(0,0)$. - $6(0) + 0 \le 36 \implies 0 \le 36$ (**Verdadero**). El semiplano contiene al $(0,0)$. - $0 + 2(0) \ge 6 \implies 0 \ge 6$ (**Falso**). El semiplano **no** contiene al $(0,0)$. 💡 **Tip:** Si el punto $(0,0)$ cumple la inecuación, sombreamos la zona donde está el origen. Si no la cumple, sombreamos la zona contraria.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan: - **Vértice $A$ (Cruce de $r_1$ y $r_4$):** $$\begin{cases} 5x - 3y = -9 \\ x + 2y = 6 \implies x = 6 - 2y \end{cases}$$ Sustituyendo: $5(6-2y) - 3y = -9 \implies 30 - 10y - 3y = -9 \implies -13y = -39 \implies y = 3, x = 0$. $\implies \mathbf{A(0, 3)}$ - **Vértice $B$ (Cruce de $r_1$ y $r_2$):** $$\begin{cases} 5x - 3y = -9 \\ x + y = 11 \implies x = 11 - y \end{cases}$$ Sustituyendo: $5(11-y) - 3y = -9 \implies 55 - 5y - 3y = -9 \implies -8y = -64 \implies y = 8, x = 3$. $\implies \mathbf{B(3, 8)}$ - **Vértice $C$ (Cruce de $r_2$ y $r_3$):** $$\begin{cases} x + y = 11 \implies y = 11 - x \\ 6x + y = 36 \end{cases}$$ Sustituyendo: $6x + (11 - x) = 36 \implies 5x = 25 \implies x = 5, y = 6$. $\implies \mathbf{C(5, 6)}$ - **Vértice $D$ (Cruce de $r_3$ y $r_4$):** $$\begin{cases} 6x + y = 36 \implies y = 36 - 6x \\ x + 2y = 6 \end{cases}$$ Sustituyendo: $x + 2(36 - 6x) = 6 \implies x + 72 - 12x = 6 \implies -11x = -66 \implies x = 6, y = 0$. $\implies \mathbf{D(6, 0)}$ ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A(0,3), B(3,8), C(5,6), D(6,0)}$$

**b) (0.25 puntos) ¿Pertenece el punto $(5, 7)$ a la región factible anterior?** Para que un punto pertenezca a la región factible, debe cumplir **todas** las inecuaciones del sistema: 1. $5(5) - 3(7) = 25 - 21 = 4 \ge -9$ (Cumple) 2. $5 + 7 = 12 \le 11$ (**No cumple**) 3. $6(5) + 7 = 30 + 7 = 37 \le 36$ (**No cumple**) 4. $5 + 2(7) = 5 + 14 = 19 \ge 6$ (Cumple) Como no satisface la segunda y tercera inecuación, el punto no está en la región. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El punto (5, 7) no pertenece a la región factible}}$$

**c) (0.75 puntos) Calcule los valores máximo y mínimo de la función $F(x, y) = 10x - 6y$ en la región anterior y determine los puntos en los que se alcanzan.** Evaluamos la función objetivo $F(x, y) = 10x - 6y$ en cada uno de los vértices hallados: - $F(A) = F(0, 3) = 10(0) - 6(3) = \mathbf{-18}$ - $F(B) = F(3, 8) = 10(3) - 6(8) = 30 - 48 = \mathbf{-18}$ - $F(C) = F(5, 6) = 10(5) - 6(6) = 50 - 36 = \mathbf{14}$ - $F(D) = F(6, 0) = 10(6) - 6(0) = \mathbf{60}$ 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal indica que los extremos de la función se alcanzan en los vértices (o en los segmentos que los unen si los valores coinciden). Observamos que el valor máximo es **60** y se alcanza en el punto **$D(6, 0)$**. El valor mínimo es **-18**. Al repetirse en los vértices $A$ y $B$, el mínimo se alcanza en todos los puntos del **segmento que une $A$ y $B$** (que coincide con la recta $5x - 3y = -9$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: 60 en } D(6, 0) ; \text{ Mínimo: -18 en los puntos del segmento } AB}$$