Continuidad, derivabilidad y área de una función a trozos

**a) (1 punto) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función $f$ en todo su dominio.** Primero, definimos el dominio de la función. Al ser una función definida a trozos, analizamos cada rama: 1. $f_1(x) = \frac{1}{x}$ en $(-\infty, -1]$. Es continua en su intervalo ya que el único punto conflictivo ($x=0$) no pertenece a este tramo. 2. $f_2(x) = -3x^2 + 4$ en $(-1, 1)$. Es una función polinómica, por tanto, continua en todo $\mathbb{R}$. 3. $f_3(x) = 2x - 1$ en $[1, +\infty)$. Es una función polinómica, por tanto, continua en todo $\mathbb{R}$. El dominio de $f(x)$ es $\mathbb{R}$. Ahora debemos estudiar los puntos de salto entre intervalos: $x = -1$ y $x = 1$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto $a$ si existen los límites laterales, son iguales y coinciden con el valor de la función: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Para $x = -1$: - $f(-1) = \frac{1}{-1} = -1$ - $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{1}{x} = -1$ - $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1} (-3x^2 + 4) = -3(-1)^2 + 4 = 1$ Como $\lim_{x \to -1^-} f(x) \neq \lim_{x \to -1^+} f(x)$ ($-1 \neq 1$), existe un **salto finito** en $x = -1$. $$\boxed{\text{f no es continua en } x = -1}$$

Para $x = 1$: - $f(1) = 2(1) - 1 = 1$ - $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (-3x^2 + 4) = -3(1)^2 + 4 = 1$ - $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (2x - 1) = 1$ Como $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1$, la función **es continua en $x = 1$**. $$\boxed{\text{f es continua en } \mathbb{R} \setminus \{-1\}}$$

Calculamos la derivada de la función en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x^2} & \text{si } x \lt -1 \\ -6x & \text{si } -1 \lt x \lt 1 \\ 2 & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ - En $x = -1$: Como la función no es continua en $x = -1$, **no puede ser derivable** en dicho punto. - En $x = 1$: Estudiamos las derivadas laterales: - $f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (-6x) = -6$ - $f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} 2 = 2$ Como $f'(1^-) \neq f'(1^+)$ ($-6 \neq 2$), la función **no es derivable en $x = 1$** (hay un punto anguloso). 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él y luego sus derivadas laterales deben coincidir. ✅ **Conclusión derivabilidad:** $$\boxed{\text{f es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}}$$

**b) (0.8 puntos) Represente gráficamente la función $f$.** Para representar la función, analizamos cada tramo: 1. **$x \le -1$**: Hipérbola $y = 1/x$. Pasa por $(-1, -1)$ y tiende a $0$ cuando $x \to -\infty$. 2. **$-1 < x < 1$**: Parábola $y = -3x^2 + 4$. Vértice en $(0, 4)$, abierta hacia abajo. Puntos abiertos en $(-1, 1)$ y $(1, 1)$. 3. **$x \ge 1$**: Recta $y = 2x - 1$. Pasa por $(1, 1)$ y $(2, 3)$. Observamos el salto en $x = -1$ (de $-1$ a $1$) y la continuidad en $x = 1$.

**c) (0.7 puntos) Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función $f$, el eje de abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 3$.** El intervalo de integración es $[0, 3]$. Debemos dividir la integral según los tramos de la función que caen en este intervalo: - Tramo 2: de $x = 0$ a $x = 1$, donde $f(x) = -3x^2 + 4$. - Tramo 3: de $x = 1$ a $x = 3$, donde $f(x) = 2x - 1$. Verificamos si la función corta al eje $X$ ($f(x)=0$) en estos intervalos: 1. $-3x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = 4/3 \implies x = \pm \sqrt{4/3} \approx \pm 1.15$. El valor $1.15$ está fuera de $[0, 1)$. 2. $2x - 1 = 0 \implies x = 1/2$. El valor $0.5$ está fuera de $[1, 3]$. Como en ambos intervalos la función es positiva, el área es simplemente la suma de las integrales definidas: $$A = \int_{0}^{1} (-3x^2 + 4) \, dx + \int_{1}^{3} (2x - 1) \, dx$$

Calculamos cada parte por separado: **Primera parte ($I_1$):** $$\int_{0}^{1} (-3x^2 + 4) \, dx = \left[ -x^3 + 4x \right]_{0}^{1}$$ $$I_1 = (-1^3 + 4(1)) - (-0^3 + 4(0)) = (-1 + 4) - 0 = 3$$ **Segunda parte ($I_2$):** $$\int_{1}^{3} (2x - 1) \, dx = \left[ x^2 - x \right]_{1}^{3}$$ $$I_2 = (3^2 - 3) - (1^2 - 1) = (9 - 3) - (1 - 1) = 6 - 0 = 6$$ 💡 **Tip (Regla de Barrow):** $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$. Sumamos ambas áreas: $$A = I_1 + I_2 = 3 + 6 = 9$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 9 \text{ unidades cuadradas}}$$