Optimización de costes de producción y recta tangente

**a) (1 punto) ¿Cuál debe ser la producción semanal para que el coste sea mínimo? ¿Cuál es dicho coste?** Para hallar el mínimo de la función de costes $f(x) = x^2 - 6x + 10$, primero calculamos su derivada. El mínimo se encontrará en un punto donde la pendiente de la función sea cero (punto crítico). Derivamos la función polinómica: $$f'(x) = 2x - 6$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar el valor de $x$: $$2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para optimizar una función (buscar máximos o mínimos), el primer paso es calcular la derivada e igualarla a cero.

Para confirmar que en $x = 3$ hay un mínimo, estudiamos el signo de la derivada a ambos lados del punto o utilizamos la segunda derivada. **Opción 1: Tabla de signos de $f'(x)$** Dividimos el dominio (considerando $x \ge 0$ por ser producción) en los intervalos definidos por el punto crítico: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - Si $x \lt 3$, por ejemplo $x = 1$, $f'(1) = 2(1) - 6 = -4 \lt 0$ (la función decrece). - Si $x \gt 3$, por ejemplo $x = 4$, $f'(4) = 2(4) - 6 = 2 \gt 0$ (la función crece). **Opción 2: Segunda derivada** $$f''(x) = 2$$ Como $f''(3) = 2 \gt 0$, confirmamos que se trata de un **mínimo relativo**. $$\boxed{x = 3 \text{ miles de kg}}$$

Sustituimos el valor de la producción $x = 3$ en la función original $f(x)$ para obtener el coste mínimo en miles de euros: $$f(3) = (3)^2 - 6(3) + 10$$ $$f(3) = 9 - 18 + 10 = 1$$ El coste mínimo es de **1 mil euros**. ✅ **Resultado apartado a):** La producción debe ser de **3000 kg** (3 mil kg) para que el coste sea mínimo, y dicho coste es de **1000 €** (1 mil euros).

**b) (1.5 puntos) Calcule la recta tangente a la función de costes en el punto de abscisa $x = 4$. Represente gráficamente la función de costes y la recta tangente hallada.** Necesitamos dos elementos para la recta tangente: el punto de tangencia y la pendiente. 1. **Punto de tangencia:** Calculamos la ordenada para $x = 4$: $$y_0 = f(4) = 4^2 - 6(4) + 10 = 16 - 24 + 10 = 2$$ El punto es $(4, 2)$. 2. **Pendiente ($m$):** Es el valor de la derivada en $x = 4$: $$m = f'(4) = 2(4) - 6 = 8 - 6 = 2$$ 3. **Ecuación de la recta:** Usamos la fórmula punto-pendiente $y - y_0 = m(x - x_0)$: $$y - 2 = 2(x - 4)$$ $$y = 2x - 8 + 2 \implies y = 2x - 6$$ 💡 **Tip:** La ecuación de la recta tangente en $x=a$ siempre es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = 2x - 6}$$

Para representar la función y la recta: - La función $f(x) = x^2 - 6x + 10$ es una parábola convexa (forma de U) con vértice en el punto $(3, 1)$. - La recta tangente $y = 2x - 6$ pasa por el punto $(4, 2)$ y tiene pendiente positiva. A continuación se muestra la representación gráfica de ambos elementos: