Probabilidad en la plantilla municipal

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales según el cuerpo al que pertenece el trabajador y su sexo: - $P$: Ser agente de la policía local. - $B$: Ser bombero. - $C$: Ser funcionario de protección civil. - $M$: Ser mujer. - $H$: Ser hombre. Calculamos las probabilidades de pertenecer a cada cuerpo dividiendo el número de personas en cada uno por el total de la plantilla ($1000 + 600 + 400 = 2000$): $$P(P) = \frac{1000}{2000} = 0.5$$ $$P(B) = \frac{600}{2000} = 0.3$$ $$P(C) = \frac{400}{2000} = 0.2$$ Las probabilidades condicionadas según el sexo son: - Policías: $P(M|P) = 0.42 \implies P(H|P) = 0.58$ - Bomberos: $P(M|B) = 0.20 \implies P(H|B) = 0.80$ - Protec. Civil: $P(M|C) = 0.50 \implies P(H|C) = 0.50$ 💡 **Tip:** Recuerda que en cada nodo del árbol, la suma de las probabilidades de las ramas que salen debe ser igual a $1$.

**a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?** Para calcular la probabilidad de que la persona elegida sea mujer ($M$), utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de ser mujer en cada uno de los tres colectivos: $$P(M) = P(P) \cdot P(M|P) + P(B) \cdot P(M|B) + P(C) \cdot P(M|C)$$ Sustituimos los valores obtenidos en el paso anterior: $$P(M) = (0.5 \cdot 0.42) + (0.3 \cdot 0.20) + (0.2 \cdot 0.50)$$ $$P(M) = 0.21 + 0.06 + 0.10 = 0.37$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (ser mujer) puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (ser policía, bombero o protección civil). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M) = 0.37}$$

**b) (1 punto) Si la persona elegida es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que sea bombero?** Este apartado nos pide una probabilidad condicionada: la probabilidad de que sea bombero ($B$) sabiendo que es hombre ($H$). La fórmula es: $$P(B|H) = \frac{P(B \cap H)}{P(H)}$$ Primero, calculamos la probabilidad de ser hombre ($P(H)$). Como ser hombre es el suceso contrario a ser mujer: $$P(H) = 1 - P(M) = 1 - 0.37 = 0.63$$ Ahora, calculamos la probabilidad de ser hombre y bombero ($P(B \cap H)$): $$P(B \cap H) = P(B) \cdot P(H|B) = 0.3 \cdot 0.80 = 0.24$$ Finalmente, aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada (o Teorema de Bayes): $$P(B|H) = \frac{0.24}{0.63}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $0.03$: $$P(B|H) = \frac{24}{63} = \frac{8}{21} \approx 0.3809$$ 💡 **Tip:** En los problemas de "Si ocurre X, ¿cuál es la probabilidad de Y?", siempre estamos ante una probabilidad condicionada $P(Y|X)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|H) = \frac{8}{21} \approx 0.3809}$$