Probabilidad condicionada: urnas y dados

Para resolver el problema, primero debemos calcular la probabilidad de elegir la urna $A$ o la urna $B$ basándonos en el lanzamiento de dos dados. El espacio muestral al lanzar dos dados tiene $6 \times 6 = 36$ resultados posibles. Definimos el suceso $S$ como la suma de las puntuaciones de los dados. La urna $A$ se elige si $S \ge 9$. Los casos favorables son: - Suma 9: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ (4 casos) - Suma 10: $(4,6), (5,5), (6,4)$ (3 casos) - Suma 11: $(5,6), (6,5)$ (2 casos) - Suma 12: $(6,6)$ (1 caso) Total de casos para la urna $A$: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ casos. Por tanto, las probabilidades de elección son: $$P(A) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$$ $$P(B) = 1 - P(A) = 1 - \frac{10}{36} = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}$$ 💡 **Tip:** En el lanzamiento de dos dados, es muy útil visualizar la tabla de sumas de $6 \times 6$ para no olvidar ningún caso favorable.

A continuación, definimos las probabilidades de extraer una bola roja ($R$) o verde ($V$) de cada urna: - Urna $A$ (4R, 5V): $P(R|A) = \frac{4}{9}$, $P(V|A) = \frac{5}{9}$ - Urna $B$ (6R, 3V): $P(R|B) = \frac{6}{9}$, $P(V|B) = \frac{3}{9}$ Representamos la situación con un diagrama de árbol:

**a) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea verde y de la urna $B$.** Nos piden la probabilidad de la intersección del suceso "Urna B" y el suceso "Bola Verde" ($V \cap B$). Aplicamos la fórmula de la probabilidad de la intersección: $$P(V \cap B) = P(B) \cdot P(V|B)$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(V \cap B) = \frac{26}{36} \cdot \frac{3}{9}$$ Realizamos la operación: $$P(V \cap B) = \frac{13}{18} \cdot \frac{1}{3} = \frac{13}{54} \approx 0.2407$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V \cap B) = \dfrac{13}{54} \approx 0.2407}$$

**b) (1 punto) Halle la probabilidad de que la bola extraída sea roja.** Para calcular la probabilidad total de que la bola sea roja, $P(R)$, debemos sumar las probabilidades de obtener roja viniendo de la urna $A$ y de la urna $B$. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(R) = P(A) \cdot P(R|A) + P(B) \cdot P(R|B)$$ Sustituimos los valores: $$P(R) = \left( \frac{10}{36} \cdot \frac{4}{9} \right) + \left( \frac{26}{36} \cdot \frac{6}{9} \right)$$ Calculamos cada término: $$P(R) = \frac{40}{324} + \frac{156}{324}$$ $$P(R) = \frac{196}{324}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 4: $$P(R) = \frac{49}{81} \approx 0.6049$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas finales de un suceso compuesto (como extraer bola roja) nos da su probabilidad total. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R) = \dfrac{49}{81} \approx 0.6049}$$