Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo de confianza al $95\%$, para estimar la proporción real de enfermos de COVID-19 en dicha población.** En primer lugar, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 1000$ - Proporción muestral de enfermos: $\hat{p} = 15\% = 0.15$ - Proporción muestral de no enfermos: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.15 = 0.85$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ 💡 **Tip:** En problemas de proporciones, recuerda que $\hat{p}$ representa el éxito (estar enfermo en este caso) y $\hat{q}$ el fracaso, cumpliéndose siempre que $\hat{p} + \hat{q} = 1$.

Para un nivel de confianza del $95\%$, debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$. 1. Calculamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$. 2. Dividimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0.025$. 3. Buscamos el valor cuya probabilidad acumulada sea $1 - \alpha/2$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975.$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0, 1)$, el valor que corresponde a una probabilidad de $0.975$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más habituales son $1.645$ (para el $90\%$), $1.96$ (para el $95\%$) y $2.575$ (para el $99\%$).

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Primero calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.15 \cdot 0.85}{1000}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.1275}{1000}}$$ $$E = 1.96 \cdot \sqrt{0.0001275} \approx 1.96 \cdot 0.01129 = 0.02213$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0.15 - 0.02213 = 0.12787$ - Límite superior: $0.15 + 0.02213 = 0.17213$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (0.1279, \, 0.1721)}$$ *(Redondeado a cuatro decimales)*

**b) (1 punto) Determine el tamaño muestral mínimo para que, con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral anteriores, el error que se cometa al estimar la proporción de ciudadanos enfermos de COVID-19 en esa población sea inferior al $1\%$.** Identificamos los nuevos datos: - Error máximo admitido: $E \lt 1\% = 0.01$ - Nivel de confianza: $95\% \implies z_{\alpha/2} = 1.96$ - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.15$ y $\hat{q} = 0.85$ - Incógnita: $n$ La fórmula del error es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$

Para despejar $n$, elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación del error: $$E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n \gt \frac{(1.96)^2 \cdot 0.15 \cdot 0.85}{(0.01)^2}$$ $$n \gt \frac{3.8416 \cdot 0.1275}{0.0001} = \frac{0.489804}{0.0001} = 4898.04$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **inferior** al $1\%$, debemos redondear siempre al entero superior. 💡 **Tip:** En el cálculo del tamaño muestral, aunque el decimal sea muy bajo (como $.04$), siempre redondeamos hacia arriba para garantizar que el error sea menor que el solicitado. ✅ **Resultado (Tamaño muestral mínimo):** $$\boxed{n = 4899 \text{ ciudadanos}}$$