Distribución de la media muestral e intervalo de confianza

**a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que el peso medio de las muestras de tamaño $64$ sea menor que $996$ g.** Primero identificamos los datos de la población original $X$, que representa el peso de un paquete de arroz: - Media poblacional: $\mu = 1000$ g. - Varianza poblacional: $\sigma^2 = 256$ g$^2$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = \sqrt{256} = 16$ g. Cuando tomamos muestras de tamaño $n = 64$, la variable **media muestral** $\bar{X}$ sigue también una distribución normal con la misma media pero con una desviación típica menor (llamada error típico): $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la media muestral: $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{16}{\sqrt{64}} = \frac{16}{8} = 2 \text{ g}.$$ Por lo tanto, la distribución de la media de las muestras es: $$\boxed{\bar{X} \sim N(1000, 2)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si la población es normal $N(\mu, \sigma)$, la media de las muestras de tamaño $n$ siempre sigue una normal $N(\mu, \sigma/\sqrt{n})$.

Queremos hallar $P(\bar{X} \lt 996)$. Para ello, debemos **tipificar** la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{\bar{X} - 1000}{2}$$ Sustituimos el valor: $$P(\bar{X} \lt 996) = P\left(Z \lt \frac{996 - 1000}{2}\right) = P(Z \lt -2)$$ Por simetría de la campana de Gauss, $P(Z \lt -2) = P(Z \gt 2)$. Y usando el suceso contrario: $$P(Z \gt 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Buscamos en la tabla $N(0, 1)$ el valor para $2.00$: $$P(Z \le 2) = 0.9772$$ $$P(\bar{X} \lt 996) = 1 - 0.9772 = 0.0228$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \lt 996) = 0.0228}$$ 💡 **Tip:** Para valores negativos en la tabla, recuerda la regla $P(Z \lt -a) = 1 - P(Z \lt a)$.

**b) (1.5 puntos) Tras varias denuncias presentadas por falta de peso en los citados paquetes, una organización de consumidores ha procedido a tomar una muestra de $64$ paquetes, resultando que la suma de los pesos ha sido de $63744$ g. Halle un intervalo de confianza al $90\%$ para estimar el peso medio real de los paquetes de arroz de esa marca.** Necesitamos tres elementos: 1. **La media muestral ($\bar{x}$):** $$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{63744}{64} = 996 \text{ g}.$$ 2. **El valor crítico ($z_{\alpha/2}$):** Para un nivel de confianza del $90\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.90$, por lo que $\alpha = 0.10$ y $\alpha/2 = 0.05$. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95$. En las tablas, el valor $0.95$ está justo entre $1.64$ y $1.65$, por lo que tomamos: $$z_{\alpha/2} = 1.645$$ 3. **La desviación típica poblacional ($\sigma$):** Como nos dicen que la marca sigue la ley anterior, usamos $\sigma = 16$ g y $n = 64$. 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $90\%$ es un valor estándar que conviene memorizar junto al del $95\%$ ($1.96$) y $99\%$ ($2.575$).

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.645 \cdot \frac{16}{\sqrt{64}} = 1.645 \cdot 2 = 3.29 \text{ g}.$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $996 - 3.29 = 992.71$ g. - Límite superior: $996 + 3.29 = 999.29$ g. ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (992.71, 999.29)}$$

**c) (0.25 puntos) A la vista del intervalo obtenido y teniendo en cuenta que el peso que marca el paquete es de $1000$ g, ¿cree que la denuncia tiene base?** El intervalo de confianza calculado $(992.71, 999.29)$ representa el rango de valores donde se espera que se encuentre el peso medio real con un $90\%$ de fiabilidad. Observamos que el peso teórico de $1000$ g **no está incluido** dentro del intervalo. De hecho, todo el intervalo está por debajo de los $1000$ g. Esto significa que, con los datos de la muestra, es muy poco probable que la media real sea de $1000$ g, por lo que existen evidencias estadísticas suficientes para afirmar que los paquetes pesan menos de lo prometido. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Sí, la denuncia tiene base, ya que } 1000 \notin (992.71, 999.29).}$$ 💡 **Tip:** Si el valor de referencia queda fuera del intervalo de confianza (especialmente si queda por encima del límite superior en casos de falta de producto), se considera que la hipótesis de que la media es ese valor de referencia es falsa.