Optimización de la producción de baterías

Para resolver este problema de programación lineal, lo primero es identificar las variables de decisión: - $x$: número de baterías de tipo $A$ producidas a la semana. - $y$: número de baterías de tipo $B$ producidas a la semana. A partir del enunciado, extraemos las restricciones: 1. **Producción total:** Al menos $10$ baterías en total: $x + y \ge 10$. 2. **Relación de producción:** El número de $B$ no puede superar en más de $10$ a las de $A$: $y \le x + 10 \implies -x + y \le 10$. 3. **Coste de producción:** Gastos de $150$ por cada $A$ y $100$ por cada $B$, con un máximo de $6000$ euros: $150x + 100y \le 6000$. Podemos simplificar esta ecuación dividiendo entre $50$: $3x + 2y \le 120$. 4. **No negatividad:** Como son cantidades físicas: $x \ge 0, y \ge 0$. 💡 **Tip:** Simplificar las desigualdades (como dividir por $50$ en la del coste) facilita mucho los cálculos posteriores de los puntos de corte.

Dibujamos las rectas asociadas a las restricciones para encontrar el recinto de soluciones posibles: - $r_1: x + y = 10$. Pasa por $(0,10)$ y $(10,0)$. - $r_2: -x + y = 10$. Pasa por $(0,10)$ y $(10,20)$. - $r_3: 3x + 2y = 120$. Pasa por $(0,60)$ y $(40,0)$. Al aplicar las desigualdades, obtenemos la **región factible**, que es el polígono sombreado cuyos vértices debemos calcular.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cruzan: 1. **Vértice A:** Intersección de $r_1$ ($x+y=10$) y el eje $Y$ ($x=0$). $$0 + y = 10 \implies y = 10 \implies \mathbf{A(0, 10)}$$ 2. **Vértice B:** Intersección de $r_2$ ($-x+y=10$) y $r_3$ ($3x+2y=120$). Despejamos $y$ en $r_2$: $y = x + 10$. Sustituimos en $r_3$: $$3x + 2(x + 10) = 120 \implies 3x + 2x + 20 = 120 \implies 5x = 100 \implies x = 20$$ Sustituyendo $x=20$ en $y=x+10$, tenemos $y = 30$. Así, $\mathbf{B(20, 30)}$. 3. **Vértice C:** Intersección de $r_3$ ($3x+2y=120$) y el eje $X$ ($y=0$). $$3x + 2(0) = 120 \implies 3x = 120 \implies x = 40 \implies \mathbf{C(40, 0)}$$ 4. **Vértice D:** Intersección de $r_1$ ($x+y=10$) y el eje $X$ ($y=0$). $$x + 0 = 10 \implies x = 10 \implies \mathbf{D(10, 0)}$$ 💡 **Tip:** Observa que el punto $(0,10)$ cumple tanto $r_1$ como $r_2$, por lo que es un único vértice compartido.

La función que queremos maximizar es el beneficio total: $$f(x, y) = 130x + 140y$$ Evaluamos la función en cada uno de los vértices hallados: - $f(0, 10) = 130(0) + 140(10) = 1400$ € - $f(20, 30) = 130(20) + 140(30) = 2600 + 4200 = 6800$ € - $f(40, 0) = 130(40) + 140(0) = 5200$ € - $f(10, 0) = 130(10) + 140(0) = 1300$ € Comparando los resultados, el valor máximo es **6800 euros**.

Tras evaluar todos los puntos críticos de la región factible, concluimos que: Para obtener el beneficio máximo, la empresa debe producir **20 baterías de tipo A** y **30 baterías de tipo B** a la semana. El beneficio total máximo será de **6800 euros**. $$\boxed{\text{Producir 20 tipo A y 30 tipo B. Beneficio: 6800 €}}$$