Invertibilidad y ecuaciones matriciales

**a) (0.7 puntos) ¿Para qué valores del parámetro $m$ existe la matriz inversa de $A$?** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Por tanto, el primer paso es calcular el determinante de la matriz $A$ en función de $m$. Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & m \\ 0 & 2 & -3 \\ m & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot 2\cdot 1) + (-1\cdot -3\cdot m) + (m\cdot 0\cdot 1) - (m\cdot 2\cdot m) - (-1\cdot 0\cdot 1) - (1\cdot -3\cdot 1)$$ $$|A| = 2 + 3m + 0 - 2m^2 - 0 + 3 = -2m^2 + 3m + 5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $A$ es invertible (o regular) si $|A| \neq 0$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$-2m^2 + 3m + 5 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-2)(5)}}{2(-2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{-4} = \frac{-3 \pm 7}{-4}$$ Obtenemos dos soluciones: - $m_1 = \frac{-3 + 7}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$ - $m_2 = \frac{-3 - 7}{-4} = \frac{-10}{-4} = \frac{5}{2} = 2.5$ Por tanto, la matriz $A$ tendrá inversa para cualquier valor de $m$ excepto $-1$ y $5/2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } A^{-1} \text{ para } m \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 5/2\}}$$

**b) (1.8 puntos) Para $m = 2$, resuelva la ecuación matricial $X \cdot A - A^2 = I_3$.** Para $m = 2$, sabemos por el apartado anterior que $|A| = -2(2)^2 + 3(2) + 5 = -8 + 6 + 5 = 3$. Como $3 \neq 0$, la matriz inversa $A^{-1}$ existe. Despejamos $X$ en la ecuación: $$X \cdot A = I_3 + A^2$$ Como $A$ tiene inversa, multiplicamos por $A^{-1}$ por la derecha en ambos miembros: $$X \cdot A \cdot A^{-1} = (I_3 + A^2) \cdot A^{-1}$$ $$X = I_3 \cdot A^{-1} + A^2 \cdot A^{-1}$$ Utilizando las propiedades de las matrices ($I \cdot B = B$ y $A^2 \cdot A^{-1} = A$): $$X = A^{-1} + A$$ 💡 **Tip:** Es mucho más sencillo calcular $A^{-1} + A$ que calcular $A^2$, sumarle la identidad y luego multiplicar por la inversa. ¡Aprovecha las propiedades de las potencias!

Para $m = 2$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y su determinante es $|A| = 3$. Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - (-3) = 5$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - (-6)) = -6$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 4 = -4$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 2) = 3$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 4 = -3$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - (-2)) = -3$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = 3 - 4 = -1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} = -(-3 - 0) = 3$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2$ La matriz adjunta es $Adj(A) = \begin{pmatrix} 5 & -6 & -4 \\ 3 & -3 & -3 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$. Transponemos: $(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 5 & 3 & -1 \\ -6 & -3 & 3 \\ -4 & -3 & 2 \end{pmatrix}$. Luego, $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 5 & 3 & -1 \\ -6 & -3 & 3 \\ -4 & -3 & 2 \end{pmatrix}$.

Ahora sumamos $A$ y $A^{-1}$: $$X = A + A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 5 & 3 & -1 \\ -6 & -3 & 3 \\ -4 & -3 & 2 \end{pmatrix}$$ Para sumar, introducimos el factor $1/3$ o bien ponemos la matriz $A$ con denominador común $3$: $$X = \begin{pmatrix} 3/3 & -3/3 & 6/3 \\ 0/3 & 6/3 & -9/3 \\ 6/3 & 3/3 & 3/3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5/3 & 3/3 & -1/3 \\ -6/3 & -3/3 & 9/3 \\ -4/3 & -3/3 & 2/3 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 8/3 & 0 & 5/3 \\ -6/3 & 3/3 & 0 \\ 2/3 & 0 & 5/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8/3 & 0 & 5/3 \\ -2 & 1 & 0 \\ 2/3 & 0 & 5/3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 8/3 & 0 & 5/3 \\ -2 & 1 & 0 \\ 2/3 & 0 & 5/3 \end{pmatrix}}$$