Estudio de una función cúbica, representación e integración

**a) (1 punto) Estudie su monotonía y calcule sus extremos.** Para estudiar la monotonía, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$: $$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$3x^2 - 8x + 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado mediante la fórmula general: $$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{6}$$ $$x = \frac{8 \pm 4}{6} \implies \begin{cases} x_1 = \frac{12}{6} = 2 \\ x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Los puntos críticos son aquellos donde la pendiente de la recta tangente es horizontal ($f'(x)=0$), y son los candidatos a ser máximos o mínimos. $$\boxed{x = \frac{2}{3}, \quad x = 2}$$

Dividimos la recta real en intervalos usando los puntos críticos encontrados y analizamos el signo de $f'(x)$ en cada uno: - Para $x \in (-\infty, 2/3)$, tomamos $x=0$: $f'(0) = 4 \gt 0$ (**Creciente**). - Para $x \in (2/3, 2)$, tomamos $x=1$: $f'(1) = 3 - 8 + 4 = -1 \lt 0$ (**Decreciente**). - Para $x \in (2, +\infty)$, tomamos $x=3$: $f'(3) = 3(9) - 8(3) + 4 = 27 - 24 + 4 = 7 \gt 0$ (**Creciente**). **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 2/3) & 2/3 & (2/3, 2) & 2 & (2, +\infty) \\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si la derivada pasa de positiva a negativa hay un máximo relativo; si pasa de negativa a positiva hay un mínimo relativo. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (-\infty, 2/3) \cup (2, +\infty) \text{ y Decreciente en } (2/3, 2)}$$

Calculamos el valor de la función en los puntos críticos para obtener las coordenadas $y$: Para $x = 2/3$ (Máximo): $$f(2/3) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - 4\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 4\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8}{3}$$ $$f(2/3) = \frac{8 - 48 + 72}{27} = \frac{32}{27} \approx 1.185$$ Para $x = 2$ (Mínimo): $$f(2) = 2^3 - 4(2)^2 + 4(2) = 8 - 16 + 8 = 0$$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (2/3, 32/27) \text{ y Mínimo relativo en } (2, 0)}$$

**b) (0.5 puntos) Represente gráficamente la función.** Utilizamos los datos obtenidos: - Puntos de corte con el eje X: $x^3 - 4x^2 + 4x = 0 \implies x(x^2 - 4x + 4) = 0 \implies x(x-2)^2 = 0$, que son $(0,0)$ y $(2,0)$. - Extremos: Máximo en $(0.67, 1.19)$ y Mínimo en $(2, 0)$. - Comportamiento en el infinito: $\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ y $\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$. 💡 **Tip:** Al graficar una cúbica, asegúrate de unir suavemente los puntos de corte con los máximos y mínimos respetando la monotonía.

**c) (0.5 puntos) Calcule $\int f(x) dx$.** Aplicamos las reglas básicas de integración para polinomos ($\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$): $$\int (x^3 - 4x^2 + 4x) dx = \int x^3 dx - 4 \int x^2 dx + 4 \int x dx$$ $$\int f(x) dx = \frac{x^4}{4} - 4 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C$$ $$\int f(x) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2 + C$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca añadir la constante de integración $C$ en las integrales indefinidas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2 + C}$$

**d) (0.5 puntos) Calcule el área del recinto acotado limitado por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas.** El recinto está limitado por los puntos de corte con el eje $X$ (eje de abscisas), que calculamos anteriormente como $x=0$ y $x=2$. Como la función en el intervalo $[0, 2]$ es positiva (el máximo está en este intervalo y es positivo), el área coincide con la integral definida: $$Area = \int_{0}^{2} (x^3 - 4x^2 + 4x) dx$$ Aplicamos la Regla de Barrow usando la primitiva del apartado anterior: $$Area = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{2}$$ Evaluamos en los límites: $$F(2) = \frac{2^4}{4} - \frac{4 \cdot 2^3}{3} + 2 \cdot 2^2 = \frac{16}{4} - \frac{32}{3} + 8 = 4 - \frac{32}{3} + 8 = 12 - \frac{32}{3}$$ $$F(2) = \frac{36 - 32}{3} = \frac{4}{3}$$ $$F(0) = 0$$ $$Area = F(2) - F(0) = \frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Area = \frac{4}{3} \text{ unidades}^2}$$