Cálculo de derivadas, estudio de una parábola e integración definida

**a) (1 punto) Calcule la derivada de las siguientes funciones: $f(x) = \ln \left( \frac{x - 1}{x + 1} \right)$ y $g(x) = x^3 \cdot e^{2x^2}$.** Para calcular la derivada de $f(x)$, es mucho más sencillo aplicar primero las propiedades de los logaritmos que utilizar la regla de la cadena directamente sobre el cociente. Propiedad: $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$. $$f(x) = \ln(x - 1) - \ln(x + 1)$$ Ahora derivamos término a término: $$f'(x) = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$$ Para dejar el resultado simplificado, operamos la resta de fracciones buscando un denominador común: $$f'(x) = \frac{(x + 1) - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x + 1 - x + 1}{x^2 - 1} = \frac{2}{x^2 - 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\frac{d}{dx}(\ln(u)) = \frac{u'}{u}$. Usar propiedades de logaritmos antes de derivar ahorra mucho tiempo y reduce errores algebraicos. ✅ **Resultado (f'):** $$\boxed{f'(x) = \frac{2}{x^2 - 1}}$$

Para la función $g(x) = x^3 \cdot e^{2x^2}$, aplicamos la regla del producto: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Definimos las partes: - $u = x^3 \implies u' = 3x^2$ - $v = e^{2x^2} \implies v' = e^{2x^2} \cdot (4x)$ (usando la regla de la cadena para el exponente) Sustituimos en la fórmula: $$g'(x) = (3x^2) \cdot e^{2x^2} + (x^3) \cdot (4x \cdot e^{2x^2})$$ $$g'(x) = 3x^2 e^{2x^2} + 4x^4 e^{2x^2}$$ Podemos simplificar factorizando $x^2 e^{2x^2}$: $$g'(x) = x^2 e^{2x^2} (3 + 4x^2)$$ ✅ **Resultado (g'):** $$\boxed{g'(x) = x^2 e^{2x^2} (3 + 4x^2)}$$

**b) (0.7 puntos) Represente gráficamente la parábola $h(x) = x^2 + x + 1$, indicando el vértice y los puntos de corte con los ejes coordenados.** 1. **Vértice ($V$):** La abscisa del vértice se calcula con $x_v = \frac{-b}{2a}$. Para $h(x) = 1x^2 + 1x + 1$, tenemos $a=1$ y $b=1$. $$x_v = \frac{-1}{2(1)} = -\frac{1}{2}$$ Para hallar la ordenada, sustituimos en la función: $$y_v = h\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1 - 2 + 4}{4} = \frac{3}{4}$$ El vértice es **$V\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$**. 2. **Puntos de corte:** - **Eje OY ($x=0$):** $h(0) = 0^2 + 0 + 1 = 1$. Punto **$(0, 1)$**. - **Eje OX ($h(x)=0$):** $x^2 + x + 1 = 0$. Aplicamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}$$ Como el discriminante es negativo ($\Delta = -3$), **no existen puntos de corte con el eje OX**. 💡 **Tip:** Como $a = 1 > 0$, la parábola es convexa (ramas hacia arriba), lo cual es coherente con que el vértice esté por encima del eje X y no lo corte. ✅ **Vértice:** $\boxed{V(-0.5, 0.75)}$ | **Corte OY:** $\boxed{(0, 1)}$

**c) (0.8 puntos) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de $h(x) = x^2 + x + 1$, el eje de abscisas y las rectas $x = -\frac{1}{2}$ y $x = 0$.** Como hemos visto que la función no corta al eje OX y es siempre positiva, el área viene dada directamente por la integral definida entre los límites indicados: $$A = \int_{-1/2}^{0} (x^2 + x + 1) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (x^2 + x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1/2}^{0}$$ $$A = \left( \frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} + 0 \right) - \left( \frac{(-1/2)^3}{3} + \frac{(-1/2)^2}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) \right)$$ $$A = 0 - \left( \frac{-1/8}{3} + \frac{1/4}{2} - \frac{1}{2} \right) = - \left( -\frac{1}{24} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} \right)$$ $$A = - \left( \frac{-1 + 3 - 12}{24} \right) = - \left( \frac{-10}{24} \right) = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$$ El área es aproximadamente $0.4167$ unidades cuadradas. 💡 **Tip:** Al aplicar Barrow, asegúrate de colocar bien los paréntesis para evitar errores con el signo negativo del límite inferior. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = \frac{5}{12} \text{ u}^2}$$ *(Ver representación del área en el gráfico interactivo)*