Probabilidad y Estadística 2021 Andalucia
Probabilidad de eficacia de vacunas y teorema de Bayes
EJERCICIO 5
Se desea probar la eficacia de dos tipos de vacunas, $A$ y $B$, contra un virus determinado. Para ello, se seleccionan $5000$ voluntarios sin anticuerpos para este virus, a los que se les administra una de las vacunas o un placebo, resultando que $3000$ reciben la vacuna $A$, $1500$ la $B$ y el resto el placebo. Se comprueba que el $90\%$ de los vacunados con la $A$ y el $95\%$ de los vacunados con la $B$, generan anticuerpos, no generando anticuerpos los que han recibido el placebo. Se selecciona uno de esos voluntarios al azar.
a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que haya generado anticuerpos?
b) (1 punto) Si dicho voluntario no ha generado anticuerpos, ¿qué probabilidad hay de que se le haya administrado placebo?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que haya generado anticuerpos?**
Primero, definimos los sucesos según el tipo de tratamiento recibido y la respuesta inmunológica:
- $A$: El voluntario recibe la vacuna $A$.
- $B$: El voluntario recibe la vacuna $B$.
- $P$: El voluntario recibe el placebo.
- $G$: El voluntario genera anticuerpos.
- $\bar{G}$: El voluntario no genera anticuerpos.
Calculamos las probabilidades de cada grupo sobre el total de $5000$ voluntarios:
- $P(A) = \frac{3000}{5000} = 0.6$
- $P(B) = \frac{1500}{5000} = 0.3$
- $P(P) = \frac{5000 - 3000 - 1500}{5000} = \frac{500}{5000} = 0.1$
Las probabilidades condicionadas dadas son:
- $P(G|A) = 0.9 \implies P(\bar{G}|A) = 0.1$
- $P(G|B) = 0.95 \implies P(\bar{G}|B) = 0.05$
- $P(G|P) = 0 \implies P(\bar{G}|P) = 1$
Representamos la situación en un diagrama de árbol:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total de generar anticuerpos
Para calcular la probabilidad de que un voluntario seleccionado al azar haya generado anticuerpos, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(G) = P(A) \cdot P(G|A) + P(B) \cdot P(G|B) + P(P) \cdot P(G|P)$$
Sustituimos los valores obtenidos anteriormente:
$$P(G) = (0.6 \cdot 0.9) + (0.3 \cdot 0.95) + (0.1 \cdot 0)$$
$$P(G) = 0.54 + 0.285 + 0 = 0.825$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser igual a 1.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(G) = 0.825}$$
(O lo que es lo mismo, un $82.5\%$ de probabilidad).
Paso 3
Cálculo de la probabilidad a posteriori (Teorema de Bayes)
**b) (1 punto) Si dicho voluntario no ha generado anticuerpos, ¿qué probabilidad hay de que se le haya administrado placebo?**
Se nos pide calcular la probabilidad de haber recibido el placebo sabiendo que no se han generado anticuerpos, es decir, $P(P|\bar{G})$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(P|\bar{G}) = \frac{P(P \cap \bar{G})}{P(\bar{G})} = \frac{P(P) \cdot P(\bar{G}|P)}{P(\bar{G})}$$
Primero, necesitamos la probabilidad de no generar anticuerpos, $P(\bar{G})$. Como ya conocemos $P(G)$:
$$P(\bar{G}) = 1 - P(G) = 1 - 0.825 = 0.175$$
Ahora aplicamos la fórmula:
$$P(P|\bar{G}) = \frac{0.1 \cdot 1}{0.175} = \frac{0.1}{0.175}$$
Para trabajar con fracciones más sencillas:
$$P(P|\bar{G}) = \frac{100}{175} = \frac{4}{7} \approx 0.5714$$
💡 **Tip:** En el Teorema de Bayes, el denominador siempre es la probabilidad total del suceso que ya ha ocurrido (en este caso, no generar anticuerpos).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(P|\bar{G}) = \frac{4}{7} \approx 0.5714}$$