Probabilidad en compras de rebajas

Para resolver el problema, lo primero es definir claramente los sucesos y traducir los porcentajes a probabilidades: - $E$: "La compra es de productos electrónicos". - $I$: "La compra se realiza a través de Internet". Del enunciado extraemos los siguientes datos: - $P(E) = 0,55$ - $P(I) = 0,72$ - $P(E|I) = 0,64$ (Probabilidad de que sea electrónico sabiendo que es por Internet). También podemos deducir los sucesos contrarios: - $P(\bar{E}) = 1 - 0,55 = 0,45$ - $P(\bar{I}) = 1 - 0,72 = 0,28$ 💡 **Tip:** En probabilidad, siempre es útil definir los sucesos y anotar los datos antes de empezar a operar.

Podemos organizar la información en un árbol de decisión empezando por el suceso $I$, ya que conocemos la probabilidad condicionada $P(E|I)$: Nota: Para completar las ramas de abajo, necesitaríamos calcular $P(E|\bar{I})$, pero los apartados se pueden resolver con fórmulas directas.

**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que haya sido de productos electrónicos y se haya realizado por Internet.** Buscamos la probabilidad de la intersección $P(E \cap I)$. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(E|I) = \frac{P(E \cap I)}{P(I)}$$ Despejando el término que buscamos: $$P(E \cap I) = P(I) \cdot P(E|I)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(E \cap I) = 0,72 \cdot 0,64 = 0,4608$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de que ocurran dos cosas a la vez (intersección) se halla multiplicando la probabilidad de la primera por la probabilidad de la segunda habiendo ocurrido la primera. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E \cap I) = 0,4608}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que la compra se haya realizado por Internet o se hayan comprado productos electrónicos.** En este apartado nos piden la unión de los sucesos, $P(I \cup E)$. Utilizamos la fórmula general de la probabilidad de la unión: $$P(I \cup E) = P(I) + P(E) - P(I \cap E)$$ Disponemos de todos los datos necesarios: - $P(I) = 0,72$ - $P(E) = 0,55$ - $P(I \cap E) = 0,4608$ (calculado en el apartado anterior) Realizamos la operación: $$P(I \cup E) = 0,72 + 0,55 - 0,4608 = 0,8092$$ 💡 **Tip:** No olvides restar la intersección en la unión, de lo contrario estarías contando dos veces el caso en el que se cumplen ambos sucesos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(I \cup E) = 0,8092}$$

**c) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que sabiendo que no se compraron productos electrónicos, la compra no se hiciera a través de Internet.** Nos piden calcular $P(\bar{I} | \bar{E})$. Aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(\bar{I} | \bar{E}) = \frac{P(\bar{I} \cap \bar{E})}{P(\bar{E})}$$ 1. Calculamos el denominador: $P(\bar{E}) = 1 - P(E) = 1 - 0,55 = 0,45$. 2. Para el numerador $P(\bar{I} \cap \bar{E})$, aplicamos las **Leyes de De Morgan**, que dicen que la intersección de los contrarios es el contrario de la unión: $$P(\bar{I} \cap \bar{E}) = P(\overline{I \cup E}) = 1 - P(I \cup E)$$ Sustituyendo el valor hallado en el apartado b): $$P(\bar{I} \cap \bar{E}) = 1 - 0,8092 = 0,1908$$ Finalmente, calculamos la probabilidad condicionada: $$P(\bar{I} | \bar{E}) = \frac{0,1908}{0,45} = 0,424$$ 💡 **Tip:** Recuerda las Leyes de De Morgan: $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B)$ y $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - P(A \cap B)$. Son fundamentales en estos ejercicios. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{I} | \bar{E}) = 0,424}$$