Intervalo de confianza y error para una proporción

**a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo de confianza al $92\%$ para estimar la proporción real de individuos de esa localidad que están en contra de la construcción de la central.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Individuos en contra (éxitos): $x = 45$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{45}{100} = 0,45$ - Proporción complementaria: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,45 = 0,55$ Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,92$ 💡 **Tip:** En inferencia estadística para proporciones, cuando el tamaño de la muestra es suficiente, la proporción muestral $\hat{p}$ sigue una distribución normal $N\left(p, \sqrt{\dfrac{p\,q}{n}}\right)$.

Para un nivel de confianza del $92\%$, debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$: 1. $1 - \alpha = 0,92 \implies \alpha = 0,08$ 2. $\alpha/2 = 0,04$ 3. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0,04 = 0,96$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$ el valor más cercano a $0,96$: - $P(Z \le 1,75) = 0,9599$ - $P(Z \le 1,76) = 0,9608$ Tomamos el valor más próximo: $$z_{\alpha/2} = 1,75$$ 💡 **Tip:** Si el valor de probabilidad no aparece exacto en la tabla, solemos tomar el más cercano o realizar una interpolación si se requiere mucha precisión.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \, , \, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 1,75 \cdot \sqrt{\frac{0,45 \cdot 0,55}{100}} = 1,75 \cdot \sqrt{0,002475} \approx 1,75 \cdot 0,04975 \approx 0,0871$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Extremo inferior: $0,45 - 0,0871 = 0,3629$ - Extremo superior: $0,45 + 0,0871 = 0,5371$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (0,3629 \, , \, 0,5371)}$$

**b) (1 punto) Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo de la muestra que hay que tomar, para que al estimar la proporción de individuos de esa localidad que rechazan la construcción de la central, el error cometido sea inferior al $5\%$.** Datos conocidos: - Proporción muestral: $\hat{p} = 0,45$ - Proporción complementaria: $\hat{q} = 0,55$ - Valor crítico (confianza $92\%$): $z_{\alpha/2} = 1,75$ - Error máximo: $E \lt 0,05$ La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$. Despejamos $n$: $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ 💡 **Tip:** Para que el error sea **menor** que una cantidad, el tamaño de la muestra debe ser **mayor** que el valor calculado, por lo que siempre redondearemos al siguiente entero.

Sustituimos los valores en la fórmula despejada: $$n = \frac{(1,75)^2 \cdot 0,45 \cdot 0,55}{(0,05)^2}$$ $$n = \frac{3,0625 \cdot 0,2475}{0,0025} = \frac{0,75796875}{0,0025} = 303,1875$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **inferior** al $5\%$, debemos tomar el primer número entero superior a $303,1875$. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 304 \text{ individuos}}$$