Análisis de Matrices e Inversibilidad. Discusión de Sistemas de Ecuaciones

**a.- (3 puntos) Determina los valores del parámetro $a$ para que $A$ tenga inversa. Para $a=1$, calcula $A^{-1}$.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus o el desarrollo por una fila/columna: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & a & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por la tercera columna (que tiene dos ceros): $$|A| = 0 \cdot (\dots) - 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} + 0 \cdot (\dots) = -(a^2 - 1) = 1 - a^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es invertible (o regular) si su determinante no es nulo. Si $|A| = 0$, la matriz se llama singular.

Para hallar los valores que hacen que la matriz no tenga inversa, igualamos el determinante a cero: $$1 - a^2 = 0 \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1$$ Por tanto: - Si **$a \neq 1$ y $a \neq -1$**, el determinante es distinto de cero y **existe la matriz inversa $A^{-1}$**. - Si **$a = 1$ o $a = -1$**, el determinante es cero y la matriz **no tiene inversa**. ✅ **Resultado (valores de $a$):** $$\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}}$$

El enunciado pide calcular $A^{-1}$ para $a = 1$. Sustituimos $a = 1$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante para este valor: $$|A| = 1 - (1)^2 = 0$$ Como el determinante es **$0$**, la matriz es singular. Esto implica que las filas (o columnas) no son linealmente independientes (en este caso, la fila 1 y la fila 3 son iguales). ✅ **Resultado (cálculo inversa):** $$\boxed{\text{Para } a = 1, \text{ no existe la matriz inversa } A^{-1} \text{ porque } |A| = 0}$$

**b.- (7 puntos) Discute y resuelve, según los valores del parámetro $m$, el sistema de ecuaciones:** $$\begin{pmatrix} 1 & -1 & m \\ m & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix}$$ Definimos la matriz de coeficientes $M$ y la matriz ampliada $M^*$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m \\ m & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad M^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m & | & -1 \\ m & 2 & 1 & | & 7 \\ 3 & 1 & 1 & | & 5 \end{pmatrix}$$ Primero calculamos el determinante de $M$ para estudiar su rango: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & m \\ m & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$|M| = (1 \cdot 2 \cdot 1) + (-1 \cdot 1 \cdot 3) + (m \cdot m \cdot 1) - [ (3 \cdot 2 \cdot m) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot -1 \cdot m) ]$$ $$|M| = (2 - 3 + m^2) - (6m + 1 - m) = m^2 - 1 - (5m + 1) = m^2 - 5m - 2$$

Igualamos el determinante de la matriz de coeficientes a cero: $$m^2 - 5m - 2 = 0$$ Usamos la fórmula general para ecuaciones de segundo grado: $$m = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$$ Los valores críticos son $m_1 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ y $m_2 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$.

**Caso 1: $m \neq \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$** En este caso $|M| \neq 0$, por lo que el rango de la matriz de coeficientes es $3$ ($Rg(M) = 3$). Como el rango máximo de la matriz ampliada también es $3$ y coincide con el número de incógnitas: $$Rg(M) = Rg(M^*) = 3 = n^o \text{ incógnitas}$$ El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, tiene una solución única. **Caso 2: $m = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$** En este caso $|M| = 0$, por lo que $Rg(M) < 3$. Si analizamos el rango de la matriz ampliada $M^*$, tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ m & 2 & 7 \\ 3 & 1 & 5 \end{vmatrix} = (10 - 21 - m) - (-6 + 7 - 5m) = -11 - m - (1 - 5m) = 4m - 12$$ Para que este determinante sea cero, $4m - 12 = 0 \implies m = 3$. Como nuestros valores de $m$ son distintos de $3$, este determinante es distinto de cero. Por tanto, $Rg(M^*) = 3$. Como $Rg(M) = 2$ y $Rg(M^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. 💡 **Tip:** Recuerda el Teorema de Rouché-Frobenius: si los rangos son distintos, el sistema no tiene solución.

Para el caso **$m \neq \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$**, resolvemos usando la Regla de Cramer. El determinante general es $|M| = m^2 - 5m - 2$. Calculamos los determinantes asociados a cada incógnita: $$|M_x| = \begin{vmatrix} -1 & -1 & m \\ 7 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-2 - 5 + 7m) - (10 - 1 - 7) = 7m - 9$$ $$|M_y| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & m \\ m & 7 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \end{vmatrix} = (7 - 3 + 5m^2) - (21m + 5 - m) = 5m^2 - 20m - 1$$ $$|M_z| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ m & 2 & 7 \\ 3 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 4m - 12$$ Las soluciones son: $$x = \frac{7m - 9}{m^2 - 5m - 2}, \quad y = \frac{5m^2 - 20m - 1}{m^2 - 5m - 2}, \quad z = \frac{4m - 12}{m^2 - 5m - 2}$$ ✅ **Resultado final (discusión y resolución):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \neq \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}: \text{SCD con } x = \frac{7m - 9}{m^2 - 5m - 2}, y = \frac{5m^2 - 20m - 1}{m^2 - 5m - 2}, z = \frac{4m - 12}{m^2 - 5m - 2} \\ \text{Si } m = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}: \text{SI (sin solución)} \end{cases}}$$