Programación lineal: Minimización de costes de alimentación

**a.- (8 puntos) Plantea y resuelve un problema de programación lineal que permita calcular la cantidad de soja y maíz que deben consumir los cerdos de manera que se minimice el coste de la alimentación. Obtén dicho valor mínimo.** Primero, definimos las variables de decisión que representan las cantidades que queremos calcular: - $x$: número de kilos de soja. - $y$: número de kilos de maíz. La función objetivo representa el coste total que queremos minimizar, basándonos en los precios por kilo (3€ para la soja y 2€ para el maíz): $$f(x, y) = 3x + 2y$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, siempre empieza identificando qué te preguntan para definir las variables $x$ e $y$ y qué magnitud quieres optimizar (función objetivo).

A partir de los datos del enunciado, establecemos las restricciones del problema: 1. **Proteína:** Se requieren al menos 28 unidades. La soja aporta 5 u/kg y el maíz 1 u/kg. $$5x + y \ge 28$$ 2. **Grasa vegetal:** Se requieren al menos 36 unidades. La soja aporta 3 u/kg y el maíz 3 u/kg. $$3x + 3y \ge 36 \implies x + y \ge 12$$ 3. **Presupuesto:** El granjero dispone de un máximo de 60€. $$3x + 2y \le 60$$ 4. **No negatividad:** Las cantidades de producto no pueden ser negativas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Simplificar las desigualdades (como la de la grasa dividiendo por 3) facilita mucho los cálculos posteriores y la representación gráfica.

Para hallar los vértices de la región factible, resolvemos los sistemas de ecuaciones formados por las rectas de frontera: - **Vértice A:** Intersección de proteína y grasa. $$\begin{cases} 5x + y = 28 \\ x + y = 12 \end{cases} \implies 4x = 16 \implies x = 4, \, y = 8 \implies \mathbf{A(4, 8)}$$ - **Vértice B:** Intersección de grasa y eje $X$ ($y=0$). $$\begin{cases} x + y = 12 \\ y = 0 \end{cases} \implies x = 12, \, y = 0 \implies \mathbf{B(12, 0)}$$ - **Vértice C:** Intersección de presupuesto y eje $X$ ($y=0$). $$\begin{cases} 3x + 2y = 60 \\ y = 0 \end{cases} \implies 3x = 60 \implies x = 20, \, y = 0 \implies \mathbf{C(20, 0)}$$ - **Vértice D:** Intersección de presupuesto y eje $Y$ ($x=0$). $$\begin{cases} 3x + 2y = 60 \\ x = 0 \end{cases} \implies 2y = 60 \implies y = 30, \, x = 0 \implies \mathbf{D(0, 30)}$$ - **Vértice E:** Intersección de proteína y eje $Y$ ($x=0$). $$\begin{cases} 5x + y = 28 \\ x = 0 \end{cases} \implies y = 28, \, x = 0 \implies \mathbf{E(0, 28)}$$ La región factible es el polígono cerrado limitado por estos cinco puntos.

Evaluamos el coste $f(x, y) = 3x + 2y$ en cada uno de los vértices hallados: - $f(4, 8) = 3(4) + 2(8) = 12 + 16 = 28€$ - $f(12, 0) = 3(12) + 2(0) = 36€$ - $f(20, 0) = 3(20) + 2(0) = 60€$ - $f(0, 30) = 3(0) + 2(30) = 60€$ - $f(0, 28) = 3(0) + 2(28) = 56€$ El valor mínimo se alcanza en el punto $(4, 8)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben consumir 4 kg de soja y 8 kg de maíz. El coste mínimo es de 28€.}}$$

**b.- (2 puntos) Si el granjero pensara que la dieta más cara es la mejor, ¿sería una solución óptima adquirir 12 kg. de soja y 15 kg. de maíz?** Para que una solución sea óptima, primero debe ser **factible**, es decir, debe cumplir todas las restricciones del problema. Comprobamos el punto $(12, 15)$: 1. Proteína: $5(12) + 15 = 60 + 15 = 75 \ge 28$ (Cumple) 2. Grasa: $3(12) + 3(15) = 36 + 45 = 81 \ge 36$ (Cumple) 3. **Presupuesto:** $3(12) + 2(15) = 36 + 30 = 66€$ Como el presupuesto máximo es de $60€$ y el coste de esta dieta es de $66€$, el punto $(12, 15)$ queda **fuera de la región factible**. 💡 **Tip:** Un punto que no cumple alguna de las restricciones (en este caso el presupuesto) nunca puede ser considerado una solución al problema planteado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No sería una solución óptima porque excede el presupuesto de 60€.}}$$