Estudio de función a trozos, extremos absolutos y cálculo integral

**a.- (3 puntos) Estudia si $f(x)$ es continua en $x=0$ ¿$f(x)$ es continua en la recta real?** Antes de analizar la continuidad, observamos la primera rama para $x \lt 0$. El denominador se anula en $x=2$, pero como esta rama solo aplica para valores negativos ($x \lt 0$), la función está bien definida. Podemos simplificar la expresión factorizando el numerador: $$x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$$ Por lo tanto, para $x \lt 0$: $$f(x) = \frac{(x-2)(x-1)}{x-2} = x - 1$$ Para estudiar la continuidad en $x=0$, calculamos los límites laterales y el valor de la función: 1. **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (x - 1) = 0 - 1 = -1$$ 2. **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^3 - 6x^2 + 9x) = 0^3 - 6(0)^2 + 9(0) = 0$$ 3. **Valor de la función ($f(0)$):** Como el signo $\ge$ está en la segunda rama: $$f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9(0) = 0$$ Como los límites laterales son distintos ($-1 \neq 0$): $$\boxed{f(x) \text{ presenta una discontinuidad de salto finito en } x = 0, \text{ por lo que no es continua en } x=0.}$$

Analizamos la continuidad en el resto de intervalos: - En $(-\infty, 0)$: La función es $f(x) = x - 1$, que es una función polinómica, por lo tanto, continua. - En $(0, +\infty)$: La función es $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$, que es un polinomio, por lo tanto, continua. Dado que hemos demostrado que falla la continuidad en $x=0$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$ 💡 **Tip:** Para que una función sea continua en un punto, el límite por la izquierda, por la derecha y el valor de la función deben ser iguales.

**b.- (3 puntos) Halla los mínimos y máximos absolutos de $f(x)$ en $[0, 4]$.** En el intervalo $[0, 4]$, la función viene definida por la segunda rama: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$. Al ser un intervalo cerrado y la función continua en él, podemos usar el Teorema de Weierstrass. Debemos comparar los valores en los extremos del intervalo y en los puntos donde la derivada es cero. 1. **Derivamos la función:** $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$ 2. **Buscamos puntos críticos ($f'(x) = 0$):** $$3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies 3(x^2 - 4x + 3) = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(3)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Obtenemos $x_1 = 3$ y $x_2 = 1$. Ambos pertenecen al intervalo $[0, 4]$. 3. **Evaluamos la función en los puntos candidatos:** - Extremo izquierdo: $f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9(0) = 0$ - Punto crítico: $f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4$ - Punto crítico: $f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 27 - 54 + 27 = 0$ - Extremo derecho: $f(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 9(4) = 64 - 96 + 36 = 4$ Comparando los valores: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo absoluto: 4 (en } x=1 \text{ y } x=4) \quad \text{Mínimo absoluto: 0 (en } x=0 \text{ y } x=3)}$$ 💡 **Tip:** Los extremos absolutos en un intervalo cerrado siempre se encuentran o en los extremos del intervalo o en los puntos singulares (donde $f'(x)=0$).

**c.- (1 punto) Analiza la concavidad ($\cap$) - convexidad ($\cup$) de $f(x)$ cuando $x \gt 0$.** La curvatura se estudia con la segunda derivada. Para $x \gt 0$, tenemos: $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$ $$f''(x) = 6x - 12$$ Buscamos el punto de inflexión igualando a cero: $$6x - 12 = 0 \implies x = 2$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos alrededor de $x=2$ (dentro de la zona $x \gt 0$): $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 2) & 2 & (2, +\infty)\\\hline f''(x) & - & 0 & +\\\hline \text{Curvatura} & \cap \text{ (Cóncava)} & \text{P.I.} & \cup \text{ (Convexa)} \end{array}$$ - En $(0, 2)$, $f''(x) \lt 0$, por lo que la función es **cóncava** ($\cap$). - En $(2, +\infty)$, $f''(x) \gt 0$, por lo que la función es **convexa** ($\cup$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es cóncava } (\cap) \text{ en } (0, 2) \text{ y convexa } (\cup) \text{ en } (2, +\infty)}$$

**d.- (3 puntos) Calcula $\int_{-2}^{-1} f(x) dx$.** El intervalo de integración $[-2, -1]$ está contenido en la región $x \lt 0$. Como vimos en el primer paso, en esta región la función se simplifica a: $$f(x) = x - 1$$ Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow: $$\int_{-2}^{-1} (x - 1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_{-2}^{-1}$$ Evaluamos en los límites: 1. Para $x = -1$: $\left( \frac{(-1)^2}{2} - (-1) \right) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ 2. Para $x = -2$: $\left( \frac{(-2)^2}{2} - (-2) \right) = \frac{4}{2} + 2 = 2 + 2 = 4$ Restamos los valores: $$\frac{3}{2} - 4 = \frac{3 - 8}{2} = -\frac{5}{2} = -2.5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de Barrow dice: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_{-2}^{-1} f(x) dx = -\frac{5}{2}}$$