Estudio completo de una función racional: asíntotas y extremos

**a.- (4 puntos) Calcula el dominio y las asíntotas de $f(x)$.** La función $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 1}$ es una función racional. Su dominio está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Para hallarlos, igualamos el denominador a cero: $$x - 1 = 0 \implies x = 1$$ Por tanto, el dominio de la función es todo $\mathbb{R}$ menos el valor $1$. 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones racionales (fracciones), el único problema de definición ocurre cuando el denominador se hace cero. $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

Para buscar las asíntotas verticales, analizamos los puntos que no pertenecen al dominio, en este caso $x = 1$. Calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a $1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3x}{x - 1} = \frac{1^2 + 3(1)}{1 - 1} = \frac{4}{0} = \infty$$ Al ser el resultado infinito, confirmamos que existe una asíntota vertical en $x = 1$. Estudiamos sus límites laterales para conocer el comportamiento de la gráfica: - Por la izquierda ($x \to 1^-$): $\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 + 3x}{x - 1} = \frac{4}{0^-} = -\infty$ - Por la derecha ($x \to 1^+$): $\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 + 3x}{x - 1} = \frac{4}{0^+} = +\infty$ ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{\text{A.V.: } x = 1}$$

Primero buscamos asíntotas horizontales calculando el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 3x}{x - 1} = \pm\infty$$ Como el límite es infinito, **no existen asíntotas horizontales**. Dado que el grado del numerador (2) es exactamente una unidad mayor que el grado del denominador (1), existe una **asíntota oblicua** del tipo $y = mx + n$. Calculamos $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x}{x(x - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x}{x^2 - x} = 1$$ Calculamos $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3x}{x - 1} - 1 \cdot x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x - x(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x - x^2 + x}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x}{x - 1} = 4$$ 💡 **Tip:** También puedes obtener la asíntota oblicua realizando la división polinómica de $(x^2+3x)$ entre $(x-1)$; el cociente resultante será la ecuación de la recta. ✅ **Resultado (Asíntota Oblicua):** $$\boxed{\text{A.O.: } y = x + 4}$$

**b.- (6 puntos) Determina, si existen, los máximos y mínimos relativos de $f(x)$ en su dominio.** Para hallar los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x^2 + 3x)'(x - 1) - (x^2 + 3x)(x - 1)'}{(x - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{(2x + 3)(x - 1) - (x^2 + 3x)(1)}{(x - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^2 - 2x + 3x - 3 - x^2 - 3x}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Esto nos da dos posibles puntos críticos: **$x = 3$** y **$x = -1$**. 💡 **Tip:** La derivada de un cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. ¡No olvides el signo menos en el numerador!

Para determinar si los puntos críticos son máximos o mínimos, estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por las raíces del numerador y los puntos de discontinuidad del dominio ($x=1$). Note que el denominador $(x-1)^2$ es siempre positivo para $x \neq 1$, por lo que el signo de $f'(x)$ depende solo del numerador $x^2 - 2x - 3$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $x = -1$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. - En $x = 3$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**.

Sustituimos los valores de $x$ en la función original $f(x)$ para obtener las coordenadas completas de los puntos: Para el máximo en $x = -1$: $$f(-1) = \frac{(-1)^2 + 3(-1)}{-1 - 1} = \frac{1 - 3}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1 \implies \mathbf{M(-1, 1)}$$ Para el mínimo en $x = 3$: $$f(3) = \frac{3^2 + 3(3)}{3 - 1} = \frac{9 + 9}{2} = \frac{18}{2} = 9 \implies \mathbf{m(3, 9)}$$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-1, 1) \text{ y Mínimo relativo en } (3, 9)}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\frac{x^2 + 3x}{x - 1}", "color": "#2563eb" }, { "id": "va", "latex": "x = 1", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "ao", "latex": "y = x + 4", "color": "#16a34a", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "max", "latex": "(-1, 1)", "color": "#000000", "showLabel": true, "label": "Máximo" }, { "id": "min", "latex": "(3, 9)", "color": "#000000", "showLabel": true, "label": "Mínimo" } ], "bounds": { "left": -10, "right": 10, "bottom": -5, "top": 15 } } }