Probabilidad Total y Teorema de Bayes: Corrección de exámenes

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen según la información del enunciado: - $A$: El examen ha sido corregido por el profesor **Alvarado**. - $B$: El examen ha sido corregido por el profesor **Benítez**. - $C$: El examen ha sido corregido por el profesor **Cadiñanos**. - $F$: El examen tiene un **fallo** o error de corrección. - $\bar{F}$: El examen **no tiene fallos**. Datos de probabilidad (porcentajes de participación): $P(A) = 0.25$ $P(B) = 0.30$ $P(C) = 0.45$ Datos de probabilidad condicionada (errores por profesor): $P(F|A) = 0.01$ $P(F|B) = 0.02$ $P(F|C) = 0.03$ 💡 **Tip:** El diagrama de árbol ayuda a visualizar todos los caminos posibles (quién corrige y si hay error o no).

**a.- (3 puntos) Calcula la probabilidad de que esté mal corregido.** Para calcular la probabilidad de que un examen esté mal corregido, $P(F)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de tener un fallo en cada una de las tres ramas posibles (Alvarado, Benítez o Cadiñanos): $$P(F) = P(A) \cdot P(F|A) + P(B) \cdot P(F|B) + P(C) \cdot P(F|C)$$ Sustituimos los valores: $$P(F) = (0.25 \cdot 0.01) + (0.30 \cdot 0.02) + (0.45 \cdot 0.03)$$ $$P(F) = 0.0025 + 0.006 + 0.0135 = 0.022$$ La probabilidad de que un examen elegido al azar esté mal corregido es del **2.2%**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F) = 0.022}$$

**b.- (3 puntos) El examen tiene un error de corrección, calcula la probabilidad de haber sido corregido por Benítez.** Nos piden la probabilidad de que el examen sea de Benítez sabiendo que tiene un error ($P(B|F)$). Utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(B|F) = \frac{P(B \cap F)}{P(F)} = \frac{P(B) \cdot P(F|B)}{P(F)}$$ Utilizamos el valor de $P(F)$ calculado en el apartado anterior: $$P(B|F) = \frac{0.30 \cdot 0.02}{0.022} = \frac{0.006}{0.022}$$ Simplificamos la fracción: $$P(B|F) = \frac{6}{22} = \frac{3}{11} \approx 0.2727$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de Bayes se usa para calcular probabilidades "a posteriori", es decir, cuando ya sabemos que ha ocurrido el suceso final (el error). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|F) = \frac{3}{11} \approx 0.2727}$$

**c.- (4 puntos) El examen tiene un error de corrección ¿qué corrector tiene mayor probabilidad de haber corregido mal el examen?** Debemos comparar las probabilidades de que cada profesor sea el responsable del error. Ya tenemos la de Benítez, ahora calculamos las de Alvarado ($P(A|F)$) y Cadiñanos ($P(C|F)$): 1. **Para Alvarado:** $$P(A|F) = \frac{P(A \cap F)}{P(F)} = \frac{0.0025}{0.022} = \frac{25}{220} = \frac{5}{44} \approx 0.1136$$ 2. **Para Benítez:** (ya calculado) $$P(B|F) = \frac{0.006}{0.022} = \frac{60}{220} \approx 0.2727$$ 3. **Para Cadiñanos:** $$P(C|F) = \frac{P(C \cap F)}{P(F)} = \frac{0.0135}{0.022} = \frac{135}{220} = \frac{27}{44} \approx 0.6136$$ **Comparación:** $$P(C|F) \gt P(B|F) \gt P(A|F)$$ $$0.6136 \gt 0.2727 \gt 0.1136$$ El corrector con mayor probabilidad de haber cometido el error es el profesor **Cadiñanos**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Cadiñanos es el más probable con } P(C|F) \approx 0.6136}$$