Estimación de proporciones y tamaño muestral

**a.- (6 puntos) Por estudios previos se sabe que el porcentaje de estudiantes alojados en un colegio mayor es del 20%. ¿De qué tamaño debemos elegir la muestra para que el error de la estimación de la proporción sea menor de 0,1 con un nivel de confianza del 98%?** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la proporción poblacional: - Proporción poblacional conocida: $p = 20\% = 0,2$. - Proporción complementaria: $q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8$. - Error máximo admisible: $E \lt 0,1$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,98$. 💡 **Tip:** En problemas de inferencia para la proporción, si no se conoce $p$, se suele tomar el caso más desfavorable $p=0,5$, pero aquí el enunciado nos da un valor previo del $20\%$ que debemos usar.

Para un nivel de confianza del $98\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente en la distribución normal estándar $N(0,1)$: 1. $1 - \alpha = 0,98 \implies \alpha = 0,02$. 2. $\alpha/2 = 0,01$. 3. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,01 = 0,99$. Mirando en la tabla de la normal $N(0,1)$, el valor que más se aproxima a $0,99$ es $0,9901$, que corresponde a: $$z_{\alpha/2} = 2,33$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el punto que deja un área de $\alpha/2$ a su derecha y $1 - \alpha/2$ a su izquierda en la campana de Gauss.

La fórmula del error para la proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}}$$ Queremos que $E \lt 0,1$, por lo tanto: $$2,33 \cdot \sqrt{\frac{0,2 \cdot 0,8}{n}} \lt 0,1$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: $$\left(2,33\right)^2 \cdot \frac{0,2 \cdot 0,8}{n} \lt (0,1)^2$$ $$5,4289 \cdot \frac{0,16}{n} \lt 0,01$$ Despejamos $n$: $$\frac{0,868624}{n} \lt 0,01 \implies 0,868624 \lt 0,01 \cdot n$$ $$n \gt \frac{0,868624}{0,01} \implies n \gt 86,8624$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos siempre al alza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \ge 87 \text{ estudiantes}}$$

**b.- (4 puntos) Se toma una muestra de 50 estudiantes y se observa que 12 se alojan en un colegio mayor, calcula el intervalo de confianza al 98% para la proporción de estudiantes alojados en un colegio mayor.** En este apartado, los datos de la muestra son: - Tamaño de la muestra: $n = 50$. - Estudiantes en colegio mayor: $x = 12$. Calculamos la proporción muestral (estimador puntual): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{12}{50} = 0,24$$ Calculamos también su complementario: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,24 = 0,76$$

El intervalo de confianza para la proporción viene dado por la fórmula: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \, , \, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Utilizamos el valor crítico hallado anteriormente para el $98\%$, $z_{\alpha/2} = 2,33$: Calculamos el error de estimación primero: $$E = 2,33 \cdot \sqrt{\frac{0,24 \cdot 0,76}{50}} = 2,33 \cdot \sqrt{\frac{0,1824}{50}}$$ $$E = 2,33 \cdot \sqrt{0,003648} \approx 2,33 \cdot 0,0604 = 0,1407$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0,24 - 0,1407 = 0,0993$ - Límite superior: $0,24 + 0,1407 = 0,3807$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza nos indica que, con una probabilidad del $98\%$, la verdadera proporción de estudiantes en colegios mayores está entre estos dos valores. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0,0993 \, , \, 0,3807)}$$